估计量的评选标准课件.ppt

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1、§7.3点估计的评价标准对于同一个未知参数,不同的方法得到的估计量可能不同,于是提出问题应该选用哪一种估计量?用什么标准来评价一个估计量的好坏?常用标准(3)相合性(2)有效性(1)无偏性定义设是总体X的样本是总体参数的估计量则称是的无偏估计量，否则称为有偏估计。存在,都有且对于任意1、无偏性是总体X的样本,例1设总体X的k阶矩存在证明:不论X服从什么分布,是的无偏估计量。无偏性的实际意义是指没有系统性的偏差.证因而由于特别地,样本均值是总体期望E(X)的无偏估计量样本二阶原点矩是总体二阶原点矩的无偏估计量。例2设总体X的期望E(X

2、)与方差D(X)存在,是X的一个样本,n>1，(1)不是D(X)的无偏估计量;(2)是D(X)的无偏估计量。证证明：故证毕。例3设总体X的密度函数为为常数为X的一个样本。证明与都是的无偏估计量，证故是的无偏估计量。令即故nZ是的无偏估计量。证例4都是总体参数的无偏估计量,则称比更有效。定义设2、有效性且至少有一个使得上述不等号严格成立,例5设x1,x2,…,xn是取自某总体的样本，记总体均值为，总体方差为2，则,,都是的无偏估计，但显然，只要n>1，比有效。这表明用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。所以,

3、比更有效。是的无偏估计量,问哪个估计量更有效？由前面例子可知,都与为常数例6设密度函数为为X的一个样本,解例7设总体期望为E(X)=,方差D(X)=2为总体X的一个样本。(1)设常数证明是的无偏估计量(2)证明比更有效(2)结论算术均值比其他加权均值更有效.证:(1)利用柯西不等式有例如X~N(,2),(X1,X2)是一样本。都是的无偏估计量由例7(2)知最有效。估计量。若对于任意的，当n时,定义设是总体参数的则称是总体参数的相合估计量。依概率收敛于,即相合估计量仅在样本容量n足够大，才显示其优越性。3、相

4、合性),,,(ˆˆ21nXXXLqq=0)ˆ(lim=³-¥®eqqPn关于相合性的常用结论样本k阶矩是总体k阶矩的相合估计。由大数定律证明矩法得到的估计量一般为相合估计量在一定条件下,极大似然估计具有相合性附录1、相合性的相关定理。2、估计的评选标准---均方误差。3、其他举例。1相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。但如果我们有足够的观测值，根据格里纹科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增

5、大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下。定义设∈Θ为未知参数，是的一个估计量，n是样本容量，若对任何一个ε>0，有(1)则称为参数的相合估计。若把依赖于样本量n的估计量看作一个随机变量序列,相合性就是依概率收敛于,所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种大数定律。相合性被认为是对估计的一个最基本要求,如果一个估计量,在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度,那么这个估计是很值得怀疑的。通常,不满足相合性要求的估计一般不予考虑。证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证.在判断估计的相合性时

6、下述两个定理是很有用的。定理1设是的一个估计量，若则是的相合估计，定理2若分别是1,…,k的相合估计，=g(1,…,k)是1,…,k的连续函数，则是的相合估计。例1为常数则是的相合估计。证明：经过简单计算可得于是所以是的相合估计量，证毕。证明由大数定律知,例2由大数定律知,例3设是来自均匀总体U（0，θ）的样本，证明θ的极大似然估计是相合估计。证明在前面我们已经给出θ的极大似然估计是x（n）。由次序统计量的分布，我们知道的分布密度为。故有由定理1可知x（n）是θ的相合估计。定理2若分别是的相合估计，是连续函数，则

7、有是的相合估计。由大数定律及定理2，我们可以看到：矩估计一般都具有相合性。比如：样本均值是总体均值的相合估计；样本标准差是总体标准差的相合估计；样本变异系数是总体变异系数的相合估计。又由的相合性，对给定的，对任意的存在正整数N，使得时证明由函数的连续性，对任意给定的，存在一个，当时有，从而有由的任意性，定理得证。根据上述的式子，故有例4设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别是，现做了n次试验，观测到三种结果发生的次数分别为n1，n2，n3，可以采用频率替换方法估计θ。由于可以有三个不同的θ的表达式：从而可以给出θ的三种不同的频率替换估

8、计，分别是。分别是p1，p2，p3相合估计。2、估计的评选标准---均方误差对于两个无偏估计，我们可以通过比较它们的方差来比较哪个更好，但对有偏估计来讲，比较方差意义不大，我们关心的是估计值围绕真值波动的大