2[1].2估计量的评选标准

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1、§2估计量的评选标准问题：用不同的方法求出的同一参数的估计量可能不同，哪个估计量更好？怎样衡量？2.1无偏估计引例：有一大批产品，废品率为未知，现任取件产品进行检验，获取子样观测值，构造统计量来估计未知参数.如果，则不利于产品卖方；如果，则不利于产品买方。事实上，的值随每次抽样结果而变，因此自然希望抽样检验长期进行的话，在平均意义下能有一个不偏不倚的结果，即.——这就是估计量的无偏性要求。定义：设是未知参数的估计量，①若，则称是的无偏估计(unbiasedestimator)，简记为UE；②若，则称是的有偏估计

2、(biasedestimator)；③若，则称是的渐近无偏估计(asymptoticunbiasedestimator).例2.2.1是来自母体的一个子样，证明：是的无偏估计，但子样方差不是的无偏估计。证明：，故是的无偏估计；故不是的无偏估计，但由于故是的渐近无偏估计.为得的无偏估计，对进行修正（称为纠偏），令：则.即是的无偏估计，此即修正样本方差.例2.2.2设母体，则是的无偏估计.例2.2.3是来自母体的一个子样，证明：是的无偏估计。证明：，故即：是的无偏估计。证毕.例2.2.4，①的矩估计量，②的最大似然

3、估计，它们是的无偏估计吗？解：①，故是的无偏估计.②是来自母体的一个子样，故（1）代入（1）式得：.不是的无偏估计，只是一个渐近无偏估计.说明：①对进行纠偏，令：，则，即为的无偏估计。②同一参数的无偏估计并不唯一。——如何再进一步判别各无偏估计量的好坏？2.2优效估计（1）有效性定义：设都是的无偏估计，若对于任意子样容量n有，则称比有效(efficiency)。例2.2.5在上例中，的两个无偏估计与哪个更有效？解：其中，故更有效.例2.2.6是来自母体的一个子样，未知，记，，证明：都是的无偏估计，其中最有效。证

4、明:故：都是的无偏估计，，即：中最有效。证毕（2）最小方差无偏估计定义：若的一切具有二阶矩的无偏估计中，满足：对的任意无偏估计，都有，则称是的最小方差无偏估计(minimumvarianceunbiasedestimator)。用定义判定一个估计量是否最小方差无偏估计一般较难，下面讨论无偏估计量的方差的下界。（3）罗-克拉美（R-C）不等式①对于连续母体情形，有定理：设是实数轴上的一个开区间，是母体的一个分布密度函数族，是来自母体的子样，是未知参数的无偏估计，如果母体及满足正则条件：(ⅰ)集合：与无关；(ⅱ)存

5、在,且对中的一切有：，及其中；(ⅲ)则有不等式此不等式称为R-C不等式，称为R-C下界.例如：指数分布的母体满足条件(ⅰ)，而均匀分布的母体不满足.②对于离散母体情形，类似条件下有其中.③有关计算中，有时用到如下等式：对连续型母体，对离散型母体，（4）优效估计定义:①若的无偏估计的方差达到R-C下界,即，则称是的优效估计(optimalefficientestimator)；②若的无偏估计为,则称为的(有)效率(efficiency),显然，优效估计的(有)效率为1）；③若的无偏估计满足：,则称是的渐近优效估计

6、(asymptoticoptimalefficientestimator).例2.2.7,问是否为未知参数的优效估计？解:①，故是的无偏估计.②③求R-C下界母体分布律为，故即：是的优效估计.例2.2.8设母体的分布密度为,问是否为未知参数的优效估计？解:①，故是的无偏估计.②.③求R-C下界即：是的优效估计.例2.2.9,问是否分别为的优效估计？解:（ⅰ）对于，①，故是的无偏估计.②.③求R-C下界母体分布密度为，故（1）由（1）得：，故即：是的优效估计.（ⅱ）对于①，故是的无偏估计.②，，.③求R-C下界由

7、（1）式知：（2）从而，故不是的优效估计.但，故是的渐近优效估计.注：①事实上可以证明，已经是的最小方差无偏估计,这说明的优效估计不存在.②在满足正则条件的估计量族范围内，优效估计是最小方差无偏估计.2.3相合估计事实上，与子样容量有关，对于估计量的无偏性、有效性的讨论都是在取定的情形下进行的。而当时，形成一个随机变量序列，自然希望依概率收敛于待估参数本身。（1）定义:若当时,,则称是的相合估计(consistentestimator，或称为一致估计).这样，充分大时（即对于大子样），与充分接近几乎是必然的，从

8、而可以用一次抽样所得的去估计.（2）结论：①，分别是的相合估计.②也是的相合估计.证明:①Ch1§1已证:时，,故：，分别是的相合估计.②因为,数列，由依概率收敛的性质知，故：也是的相合估计.常用估计量的优良特性：无偏性渐进无偏性一致性(相合性)有效性优效估计渐进优效估计最小方差无偏估计√√母体是0-1分布、指数分布、正态分布时√√母体是正态分布时母体是正态分布时√√