估计量的评选标准ppt课件.ppt

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1、§3-2估计量的评选标准一．无偏性二．最优性三．优效性四．充分性五．完备性1一．无偏性2一．无偏性无偏估计设总体X~F(x;)，其中参数未知。(X1,X2,…,Xn)是抽自总体X的一个样本，T=T(X1,X2,…,Xn)是的一个估计量。如果则称T为的无偏估计，否则称为有偏估计。3渐近无偏估计设(X1,X2,…,Xn)是抽自总体X~F(x;)，的样本，T=T(X1,X2,…,Xn)是的一个估计量，如果则称T是的渐近无偏估计。一．无偏性4（1）样本均值是总体均值=E(X)的无偏估计。（2）样本原点矩

2、Al是相应的总体原点矩μl的无偏估计。一．无偏性例题1总体原点矩µl=E(Xl)5（1）样本方差不是总体方差2=D(X)的无偏估计，而是渐近无偏估计。（2）修正样本方差是总体方差2=D(X)的无偏估计。一．无偏性例题26设总体X服从指数分布，其概率密度为其中参数>0未知，(X1,X2,…,Xn)是抽自总体X的样本，试证：和nZ=n[min(X1,X2,…,Xn)]都是的无偏估计。例题3一．无偏性7（1）无偏估计的实际意义。注记（2）无偏估计可能不唯一。一．无偏性（3）无偏估计可能不存在。（4）无偏性在函数变换

3、下不一定有不变性。（5）某些有偏估计可修正为无偏估计。8二．最优性9二．最优性有效性设T1=T1(X1,X2,…,Xn)和T2=T2(X1,X2,…,Xn)都是的无偏估计量。如果则称T1较T2有效。10设总体X服从指数分布，其概率密度为其中参数>0未知，(X1,X2,…,Xn)是抽自总体X的样本，试证：较nZ=n[min(X1,X2,…,Xn)]有效（n>1）。例题4二．最优性11二．最优性最小方差无偏估计设总体X~F(x;)，其中未知参数，记U={T:E(T)=g(),D(T)<∞}设T*U，如果对

4、任一TU,都有D(T*)≤D(T)则称T*为g()的最小方差无偏估计．12（1）最小方差无偏估计是一种最优估计量。注记（2）最小方差无偏估计至多一个。（3）最小方差无偏估计可能不存在。（4）通常在某个较小范围内求具有最小方差的无偏估计。二．最优性13设总体X具有有限方差2，(X1,X2,…,Xn)是抽自总体X的样本，试证：在所有形如　（　　　　，i≥0,i=1,…,n）的这些总体均值的无偏估计中，样本均值的方差最小。例题5二．最优性14二．最优性求最小方差无偏估计的零无偏估计法设总体X~F(x;)，其中未

5、知参数，记U0={T0:E(T0)=0,D(T0)<∞}则T*为g()的最小方差无偏估计的充要条件为：对每个T0U0,都有E(T*T0)=015例题6二．最优性设总体X～N(，²)，其中，²未知，(X1,X2,…,Xn)是抽自总体X的样本，试求未知参数，²的最小方差无偏估计。16三．优效性17设总体X的概率密度函数为f(x;),未知参数，T=T(X1,X2,…,Xn)为g()的一个无偏估计。如果Rao–Cramer定理则正规分布正规估计18（1）Rao-Cramer不等式给出了所有正规

6、无偏估计的方差的下界。这个下界称为Rao-Cramer下界。注记（2）注意区分：方差达到Rao-Cramer下界的无偏估计最小方差无偏估计（3）信息量I()的另一个容易计算的表达式（4）Rao-Cramer不等式对离散型总体依然成立。三．优效性（5）Rao-Cramer不等式可推广到多维情形。19优效估计如果参数函数g()的某个正规无偏估计T的方差达到Rao-Cramer下界，则称这个正规无偏估计T为g()的优效估计量。三．优效性效率设T为g()的一个正规无偏估计，则称为这个正规无偏估计T的效率。20三．优效

7、性渐近效率设T为g()的一个正规无偏估计，若则称e0(;T)为这个正规无偏估计T的渐近效率。渐近优效估计如果参数函数g()的某个正规无偏估计T满足则称T为g()的渐近优效估计量。21设总体X～Γ(，)，其中已知，未知，(X1,X2,…,Xn)是抽自总体X的样本，试证：　　为-1的优效估计。例题7三．优效性22四．充分性23四．充分性充分统计量产生的直观背景思考题：在把样本(X1,X2,…,Xn)加工成一个统计量T的过程中，会不会把样本中所含的关于的信息丢失掉呢？样本(X1,X2,…,Xn)中所含

8、的信息＝统计量T所含的信息+T知道后，样本(X1,X2,…,Xn)中所含的剩余信息可用给定统计量T=t时，样本(X1,X2,…,Xn)的条件分布FX1,X2,…,Xn

9、T(x1,x2,…,xn

10、t)表示。24四．充分性充分统计量设(X1,X2,…,Xn)是抽自总体X~F(x;)的样本，T＝T(X1,X2,…,Xn)是一个统计量，如果给定T