第十八讲 估计量的评选标准及区间估计

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1、第十八讲估计量的评选标准及区间估计1.估计量的评价标准判断估计量好坏的标准是：有无系统偏差；波动性的大小；伴随样本容量的增大是否是越来越精确，这就是估计的无偏性，有效性和相合性。（1）无偏性设是未知参数的估计量，则是一个随机变量，对于不同的样本值就会得到不同的估计值，我们总希望估计值在的真实值左右徘徊，即其数学期望恰等于的真实值。定义:设（）是未知参数的估计量，若存在，且对有=，则称是的无偏估计量，称具有无偏性。在科学技术中，-称为以作为的估计的系统误差，无偏估计的实际意义就是无系统误差。例１：设总体的阶中心矩存在，是的一个样本，证明：不论服从什么分布

2、，是的无偏估计量。证明：与同分布，第七章参数估计第3节估计量的评选标准从上一节得到：对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不相同，用相同的方法也可能得到不同的估计量，也就是说，同一参数可能具有多种估计量，而且，原则上讲，其中任何统计量都可以作为未知参数的估计量，那么采用哪一个估计量为好呢？这就涉及到估计量的评价问题。对定义的理解：设是总体X的分布参数，，即服从某一分布形式的任意总体分布，参数的估计量（）（是简单随机样本的函数）的数学期望都等于。特别，不论服从什么分布，只要存在，总是的无偏估计。例２：设总体的都存在，且，若均为未知，则的估计量是有

3、偏的。证明：，的估计量是有偏的。若在的两边同乘以，则所得到的估计量就是无偏了即，而恰恰就是样本方差可见，可以作为的估计，而且是无偏估计。因此，常用作为方差的估计量。从无偏的角度考虑，比作为的估计好。在实际应用中，对整个系统（整个实验）而言无系统偏差，就一次实验来讲，可能偏大也可能偏小，实质上并说明不了什么问题，只是平均来说它没有偏差。所以无偏性只有在大量的重复实验中才能体现出来；另一方面，我们注意到：无偏估计只涉及到一阶矩（均值），虽然计算简便，但是往往会出现一个参数的无偏估计有多个，而无法确定哪个估计量好。例３：设总体服从指数分布，其概率密度为其中为

4、未知，又是的一样本，则和都是的无偏估计。证明：，是的无偏估计。而则服从参数为的指数分布，其概率密度为即是的无偏估计。事实上，，中的每一个均可作为的无偏估计。（2）有效性：定义:设（）与（）都是的无偏估计量，若，有且至少存在一个同分布多维随机变量最小值的分布函数：那么，究竟哪个无偏估计更好、更合理，这就看哪个估计量的观察值更接近真实值的附近，即估计量的观察值更密集的分布在真实值的附近。我们知道，方差是反映随机变量取值的分散程度。所以无偏估计以方差最小者为最好、最合理。为此引入了估计量的有效性概念。使上式中的不等号成立，则称有效。例４：（续例３）试证当时，

5、的无偏估计量较的无偏估计量有效。证明： 又当时，显然有，故较有效。（3）相合性（一致性）定义：设（）是参数的估计量，若对于任意，当时（）以概率收敛于，则称为的相合估计量。即，若对于任意都满足：，有，则称为的相合估计量。例如：在任何分布中，是的相合估计；而都是的相合估计量。不过，相合性只有在n相当大时，才能显示其优越性，而在实际中，往往很难达到，因此，在实际工作中，关于估计量的选择要视具体问题而定。总体服从参数为的指数分布，服从参数为的指数分布。关于无偏性和有效性是在样本容量固定的条件下提出的，即我们不仅希望一个估计量是无偏的，而且是有效的，自然希望伴随

6、样本容量的增大，估计值能稳定于待估参数的真值，为此引入一致性概念。（课间休息）2.区间估计定义:设总体的分布函数含有一个未知参数，（是可能取值的范围），对于给定的，若由样本确定的两个统计量和，对于任意满足：（4.1）则称：随机区间[]为的置信水平为的置信区间，和分别称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限和置信上限。称为置信水平。当是连续型随机变量时，对于给定的，我们总是按要求求出置信区间；而当是离散型随机变量时，对于给定的，我们常常找不到区间[]使得恰为，此时我们去找区间[]使得至少为且尽可能地接近。例１：　设总体,为已知,为未知,是来自的样本,求的置

7、信水平为的置信区间.解:　我们知道是的无偏估计,且有第3节区间估计从点估计中，我们知道：只要得到样本观测值，点估计值能给我们对的值有一个明确的数量概念。但是仅仅是的一个近似值，它并没有反映出这个近似值的误差范围，这对实际工作都来说是不方便的，而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷。定义中（4.1）式的意义在于：若反复抽样多次，每个样本值确定一个区间[]，每个这样的区间要么包含的真值，要么不包含的真值。据Bernoulli大数定律，在这样多的区间中，包含真值的约占100（）%，不包含真值的约仅占100%，比如，=0.005,反复抽样1000次,则得到的10

8、00个区间中不包含真值的区间仅为5个.．据标准正态分布的上分位点的定义有:即这样，我们就得到了