2013-2014学年度第一学期期末考试高二数学参考答案.doc

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1、2013—2014学年度第一学期期末考试高二数学参考答案及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1-12BCADADDBACAB二、填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分．13.2x-y-3>0；14.2n-115.16.（文）a<3（理）三、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分。(17)(10分)已知过点A(－4，0)的动直线与抛物线G：x2＝2py(p＞0)相交于B，C两点．当直线的斜率是时，＝4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取

2、值范围．解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线的斜率是时，的方程为y＝(x＋4)，即x＝2y－4.由得2y2－(8＋p)y＋8＝0，∴又∵＝4，∴y2＝4y1，③由①②③及p＞0得y1＝1，y2＝4，p＝2，得抛物线G的方程为x2＝4y.(5分)(2)设l：y＝k(x＋4)(k≠0)，BC的中点坐标为(x0，y0)，由得x2－4kx－16k＝0，④∴x0＝＝2k，y0＝k(x0＋4)＝2k2＋4k.∴线段BC的中垂线方程为y－2k2－4k＝－(x－2k)，∴线段BC的中垂线在y轴上的截距为b＝2k2

3、＋4k＋2＝2(k＋1)2.对于方程④，由Δ＝16k2＋64k＞0得k＞0或k＜－4.∴b∈(2，＋∞)．（10分）（18）(12分)(1)已知a，b是正常数，a≠b，x，y∈(0，＋∞)，求证：＋≥，并指出等号成立的条件；(2)利用(1)的结论求函数f(x)＝＋的最小值，并指出取最小值时x的值．18．(1)证明：(x＋y)＝a2＋b2＋a2＋b2≥a2＋b2＋2＝(a＋b)2，故＋≥，当且仅当a2＝b2，即＝时上式取等号．（6分）(2)由(1)得f(x)＝＋≥＝25，当且仅当＝，即x＝时上式取最小值，即f(x)m

4、in＝25.（12分）（19）(12分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若＝且sinC＝cosA.(1)求角A，B，C的大小；[中_教_网z_z_s_tep](2)设函数f(x)＝sin(2x＋A)＋cos2x－，求函数f(x)的单调递增区间，并指出它相邻两对称轴间的距离．19．解：(1)由＝结合正弦定理得＝，则sin2A＝sin2B，则有A＝B或A＋B＝，①当A＝B时，由sinC＝cosA得cosA＝sin2A＝2sinAcosA得sinA＝或cosA＝0(舍)，∴A＝B＝，C＝，②当A＋B

5、＝时，由sinC＝cosA得cosA＝1(舍)．综上，A＝B＝，C＝，[中教网]（6分）(2)由(1)知f(x)＝sin(2x＋)＋cos(2x－)＝sin(2x＋)＋cos(－＋2x＋)＝2sin(2x＋).由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为(kπ－，kπ＋)(k∈Z)，相邻两对称轴间的距离为.（12分）(20)(12分)已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝a(Sn－an＋1)(a为常数，且a≠0，a≠1)(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式

6、；(2)设bn＝a＋Sn·an，若数列{bn}为等比数列，求a的值．解：(1)当n＝1时，S1＝a(S1－a1＋1)，∴a1＝a，当n≥2时，Sn＝a(Sn－an＋1)，Sn－1＝a(Sn－1－an－1＋1)，[中教网]两式相减得，an＝a·an－1，即＝a.即{an}是等比数列，an＝a·an－1＝an.（6分）(2)由(1)知bn＝(an)2＋an，即bn＝.①若{bn}为等比数列，则有b＝b1b3，而b1＝2a2，b2＝a3(2a＋1)，b3＝a4(2a2＋a＋1)．故[a3(2a＋1)]2＝2a2·a4(2

7、a2＋a＋1)，解得a＝.将a＝代入①得bn＝n成立．∴a＝.（12分）（21）(12分)设A，B分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左，右顶点，P（1，）为椭圆上一点，椭圆长半轴的长等于焦距．(1)求椭圆的方程；(2)设P(4，x)(x≠0)，若直线AP，BP分别与椭圆相交于异于A，B的点M，N，求证：∠MBN为钝角．解：(1)依题意，得a＝2c，b2＝a2－c2＝3c2，设椭圆方程为＋＝1，将1，代入，得c2＝1，故椭圆方程为＋＝1.（6分）(2)证明：由(1)知A(－2，0)，B(2，0)，设M(x0，y0)，则

8、－2＜x0＜2，y＝(4－x)，由P，A，M三点共线，得x＝，＝(x0－2，y0)，＝2，，·＝2x0－4＋＝(2－x0)＞0，[中教网]即∠MBP为锐角，则∠MBN为钝角．（12分）（22）（文）(12分)己知函数f(x)＝(x2－ax＋a)ex(a<2，e为自然对数的底数)．(1)若a＝1，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若存在