等比数列概念及性质.ppt

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1、2.4.1等比数列概念及通项公式第二课时如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做公比q.二、新课数学语言表示为：如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即2.什么是等比中项？1.什么是等比数列？定义说明：1o等比数列的符号表示成等比数列=q(≠0)（）2隐含：任一项(等比数列无零项)3q=1时，{an}为常数列非零的常数数列既是等差数列又是等比数列1.用下列方法表示的数列中能确定是等比数列的是.①1，-1，1，…，(-1)n+1；②1，2，4，6…；③a，a，a，…，a；④已

2、知a1=2，an=3an+1；⑤⑥2a，2a，2a，…，2a.√√√×××①④⑥思考1：思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特点？正负交替对公比q的探究：（a1﹥0时）当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列;当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列；当q=1时，等比数列{an}为常数列；当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。探究二：通项公式思考3：如何用a1和q表示第n项an2.叠乘法（累乘法）1.不完全归纳法等比数列的通项公式：（n∈N﹡,q≠0）2.由定义归纳通项公式问：如何用a1和q表示第n项ana2/a1=qa3/a2=qa4/a3=q

3、…an/an-1=q其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1，即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它就是等比数列｛an｝的通项公式。这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1所以an=a1qn-11.叠乘法（累乘法）a2=a1qa3=a2q=a1q2a4=a3q=a1q3…an=a1qn-12.不完全归纳法等比数列的通项公式：an=a1qn-1（n∈N﹡,q≠0）特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：＿＿＿＿＿＿上式还可以写成可见，这个等比数列的图象都在函

4、数的图象上，如右图所示。01234nan87654321····思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？探究三:等比数列的图象与指数函数之间的关系:例题1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩留的这种物质是原来的84％.这种物质的半衰期为多长（精确到1年）？三.巩固应用例题3：一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18，求它的第1项和第2项。1.在等比数列{an}中，已知求an.例2.根据右图的框图,写出所打印数列的前5项,并建立数列的递推公式.这个数列是等比数列吗?开始A=1n=1A=1/2An=n+1n>5?输出A结束否是四.应用

5、示例开始A=1n=1A=1/2An=n+1n>5?输出A结束否是它是一个与n无关的常数，所以是一个以为公比的等比数列已知是项数相同的等比数列，是等比数列.求证证明:设数列首项为,公比为;首项为,公比为那么数列的第n项与第n+1项分别为：即为探究对于例４中的等比数列　　与　　，数列　　　也一定是等比数列吗？是特别地，如果是等比数列，c是不等于０的常数，那么数列也是等比数列．数列等差数列等比数列定义式公差（比）定义变形通项公式一般形式an+1-an=dd叫公差q叫公比an+1=an+dan+1=anqan=a1+(n-1)dan=a1qn-1an=am+(

6、n-m)dan=amqn-m比较：在等差数列中试问：在等比数列中，如果知道和公比q，能否求？如果能，请写出表达式。变形结论:变通公式变通公式注：运用此公式，已知任意两项，可求等比数列中的其他项证明等比数列中有类似性质吗？？？想一想探究一在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？a32=a1.a5是否成立?你能得到更一般的结论吗？证明要积极思考哦且m,n,s,tN+,若m+n=s+t思考am,an,as,at有什么关系若等比数列{an}的首项为a1，公比q，且且m,n,s,tN+若m+n=s+t,则aman=asat性质2：4、等比数列所有奇

7、数项符号相同；所有偶数项符号相同。二、等比数列的性质定义法:三、判断等比数列的方法中项法:三个数a,b,c成等比数列1.定义2.公比(差)3.等比(差)中项4.通项公式5.性质(若m+n=p+q)q不可以是0,d可以是0等比中项等差中项等差数列等比数列定义法，只要看1、一个等比数列的第4项与第7项分别是－,，求这个等比数列的通项公式以及第5项课堂练习292243课堂小结：性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项依原序构成的新数列是等比数列。等差数列等比数列性质1性质2性质3an=am+(n-m)d若n+m=p+q则am+an=ap+aq若n+m=s+t

8、则an·am=as·at,项数成等差，数列成等差项数成等差数列成等比对比记忆作业：P602.4