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1、第二章随机过程的概念与基本类型随机过程的定义和统计描述随机过程分布律和数字特征复随机过程随机过程基本类型随机变量在每次试验的结果中，以一定的概率取某个事先未知，但为确定的数值。在实际应用中，我们经常要涉及到在试验过程中随时间t而改变的随机变量。例如，接收机的噪声电压，此外，还包括生物群体的增长问题；电话交换机在一定时间段内的呼叫次数；一定时期内的天气预报；固定点处海平面的垂直振动；等等在第Wi次试验中测量获得的噪声电压Xt是一个样本函数定义2.1设（Ω,F,P）是概率空间，T是给定的参数集，若对每个t∈T
2、，由一个随机变量X(t,e)与之对应，则称随机变量族{X(t,e),t∈T}是（Ω,F,P）上的随机过程。随机过程{X(t,e),t∈T}可以认为是一个二元函数。对固定的t，X(t,e)是（Ω,F,P）上的随机变量；对固定的e，X(t,e)是是随机过程{X(t,e),t∈T}的一个样本函数。X(t)通常表示为在时刻t所处的状态。X(t)的所有可能状态所构成的集合称为状态空间或相空间。通常我们可以根据随机变量X(t)在时间和状态上的类型区分随机过程的类型。在时间和状态上都连续连续型随机过程在时间上连续，状态
3、上离散离散型随机过程在时间上离散，状态上连续连续型随机序列在时间上离散，状态上离散离散型随机序列有限个随机变量统计规律联合分布函数随机过程统计规律有限维分布函数族设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2,…,tn∈T，随机向量(X(t1),X(t2),…,X(tn))的联合分布函数为这些分布函数的全体称为XT={Xt,t∈T}的有限维分布函数。有限维分布函数的性质对称性对于{t1,t2,…,tn}的任意排列相容性当m4、已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在概率空间（Ω,F,P）及定义在其上的随机过程{X(t),t∈T}，它的有限维分布函数族是F。设XT={X(t),t∈T}是随机过程，如果对任意t∈T，EX(t)存在，则称函数为XT的均值函数，反映随机过程在时刻t的平均值。若对任意t∈T，E(X(t))2存在，则称XT为二阶矩过程，而称为XT的协方差函数，反映随机过程在时刻t和s时的线性相关程度。为XT的方差函数，反映随机过程在时刻t对均值的偏离程度。为XT的相关函数，反映随机过程在时刻t和s时的
5、线性相关程度。数字特征对于二阶矩随机过程，其协方差函数和相关函数一定存在，且有如下关系：例题2.5设随机过程其中，Y和Z是相互独立的随机变量，且EY=EZ＝0，DY=DZ=σ2，求X(t)的均值函数和协方差函数。例题2.6设随机过程X(t)=Y+Zt，t>0，其中Y,Z是相互独立的N(0,1)随机变量，求{X(t),t>0}的一、二维概率密度族。两个随机过程之间的关系互协方差函数互相关函数定义：设{X(t),t∈T}，{Y(t),t∈T}是两个二阶矩过程，则称为{X(t),t∈T}与{Y(t),t∈T}的
6、互协方差函数，称为{X(t),t∈T}与{Y(t),t∈T}的互相关函数。两个随机过程{X(t),t∈T}与{Y(t),t∈T}的互不相关定义互协方差函数与互相关函数之间的关系例题2.8：设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相关函数。例题2.7设有两个随机过程X(t)=g1(t+ε)和Y(t)=g2(t+ε)，其中g1(t)和g2(t)都是周期为L的周期方波，ε是在(0,L)上服从均匀分布的随机变量，求互相关函数RXY(t,t+τ)的表达式。复随
7、机过程定义：设{Xt,t∈T}，{Yt,t∈T}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T其中，则称{Zt,t∈T}为复随机过程。复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数相关函数协方差函数相互之间的关系复随机过程的性质复随机过程{XT,,t∈T}的协方差函数B(s,t)具有性质：（1）对称性（埃米特性），（2）非负定性，对任意ti∈T及复数ai，i=1,2,…,n，n≥1，有说明：1.如果函数f(s,t)具有非负定性，那么它必具有埃米特性。2.若f(s,t)为一非负定函数，则必存在一个二阶矩过程（并可要求它
8、为正态过程）以给定的f(s,t)为协方差函数。两个复随机过程{Xt}，{Yt}的互相关函数定义为互协方差函数定义为例题2.9设随机过程，其中X1,X2,…,Xn是相互独立的，且服从N(0,k2)的随机变量，w1,w2,…,wn是常数，求{Zt,t≥0}的均值函数m(t)和相关函数R(s,t)。随机过程的几种基本类型二阶矩过程正交增量过程独立增量过程马尔可夫过程正态过程维纳过程平稳过程二阶矩过程定义：设{X(t),t∈T}是零
