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1、第四讲从随机变量到随机过程4.1从随机变量到随机过程4.1.1随机过程的定义随某些参量变化的随机变量称为随机函数。通常将以时间为参量的随机函数称为随机过程，也称为随机信号。自然界中变化的过程可分为两大类：确定性过程和随机过程确定性过程：就是事物的变化过程可以用一个（或几个）时间t的确定的函数来描绘。随机过程：就是事物变化的过程不能用一个（或几个）时间t的确定的函数来加以描述。随机过程的定义：定义1：设随机试验的样本空间为S={ei}，对于空间的每一个样本，总有一个时间函数X(t,ei)与之对应对于空间的所有样本，可有一族时间函数X(t,e)与其对应，这族时间函数称为随机过程，简记为X(t)。定
2、义2：设有一个过程X(t)，若对于每一个固定的时刻tj(j=1,2,…)，X(tj)是一个随机变量，则称X(t)为随机过程。4.1.2随机过程的分类1)按照时间和状态是连续还是离散来分类：连续型随机过程随机过程X(t)对于任意时刻，X(ti)都是连续型随机变量，即时间和状态都是连续的情况，称这类随机过程为连续型随机过程。连续随机序列随机过程X(t)在任一离散时刻的状态是连续型随机变量，即时间是离散的，状态是连续的情况，称这类随机过程为连续随机序列。离散随机过程随机过程X(t)对于任意时刻，X(ti)都是离散型随机变量，即时间是连续的，状态是离散的情况。离散随机序列对应于时间和状态都是离散的情况
3、，即随机数字信号。2)按照随机过程的分布函数（或概率密度）的不同特性进行分类按照这种分类法，最重要的就是平稳随机过程，其次是马尔可夫过程等等。4.2随机过程的统计特性4.2.1随机过程的概率分布1.一维概率分布对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，设x为任意实数，定义为随机过程X(t)的一维分布函数。若的一阶偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的一维概率密度。随机过程一维分布的性质：2.二维概率分布和n维概率分布对于随机过程X(t)，在任意两个时刻t1和t2可得到两个随机变量X(t1)和X(t2)，可构成二维随机变量{X(t1),X(t2)}，它的二维分布函数称为随机过程X(t)的二维概率
4、分布函数。若对x1,x2的偏导数存在，则定义为随机过程X(t)的二维概率密度。对于任意的时刻t1,t2,…,tn，X(t1),X(t2),…,X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程X(t)的n维概率分布，即定义为随机过程X(t)的n维概率分布函数。为随机过程X(t)的n维概率密度。随机过程X(t)和Y(t)的四维联合概率密度若两个随机过程互相独立，则有一个随机过程不同时刻状态间互相独立，即X(t1)和X(t2)互相独立4.2.2随机过程的数字特征1.数学期望对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义为随机过程的数学期望，记为mx(t)，即2.
5、方差对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为随机过程的方差，记为D[X(t)]，即3.自相关函数和协方差函数设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为X(t)的自相关函数，简称相关函数设X(t1)和X(t2)是随机过程X(t)在t1和t2二个任意时刻的状态，称X(t1)和X(t2)的二阶联合中心矩为X(t)的自协方差函数当时，当时，若对于任意的t1和t2都有CX(t1,t2)=0,那么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的。若RX(t1,t2)=0，则
6、称X(t1)和X(t2)是相互正交的。若则称随机过程在t1和t2时刻的状态是相互独立的。4.互相关函数和互协方差函数设有两个随机过程X(t)和Y(t)，它们在任意两个时刻t1和t2的状态分别为X(t1)和Y(t2)，则随机过程X(t)和Y(t)的互相关函数定义为类似地，定义两个随机过程的互协方差函数为若对于任意时刻t1和t2，有RXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是正交过程，此时有若对于任意时刻t1和t2，有CXY(t1,t2)=0，则称X(t)和Y(t)是互不相关的，此时有当X(t)和Y(t)互相独立时，满足则有当X(t)和Y(t)互相独立时，X(t)与Y(t)之间一定不相关；反
7、之则不成立。研究随机过程有两条途经：侧重于研究概率结构侧重于统计平均性质的研究4.2.3随机过程的特征函数对于某一固定时刻t，随机变量X(t)的特征函数就定义为随机过程的一维特征函数一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系随机过程的二维特征函数：随机过程在任意两个时刻t1和t2的取值构成一个二维随机变量{X(t1),X(t2)},它的特征函数定义为随机过程X(t)的二维特征函数。随机过程
