函数极限的性质证明(精选多篇).doc

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1、函数极限的性质证明(精选多篇)　　函数极限的性质证明　　x1=2,xn+1=2+1/xn,证明xn的极限存在，并求该极限　　求极限我会　　

2、xn+1-a

3、<

4、xn-a

5、/a　　以此类推，改变数列下标可得

6、xn-a

7、<

8、xn-1-a

9、/a;　　

10、xn-1-a

11、<

12、xn-2-a

13、/a;　　……　　

14、x2-a

15、<

16、x1-a

17、/a;　　向上迭代，可以得到

18、xn+1-a

19、<

20、xn-a

21、/(a^n)　　2　　只要证明{x(n)}单调增加有上界就可以了。　　用数学归纳法：　　①证明{x(n)}单调增加。　　x(2)=

22、√=√5>x(1);　　设x(k+1)>x(k)，则　　x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)　　=/【√+√】>0。　　②证明{x(n)}有上界。　　x(1)=1<4，　　设x(k)<4，则　　x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。　　3　　当0　　当0　　构造函数f(x)=x*a^x(0　　令t=1/a，则：t>1、a=1/t　　且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)　　则：　　lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x　　=lim(x→+∞)(分子分母分

23、别求导)　　=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)　　=1/(+∞)　　=0　　所以，对于数列n*a^n，其极限为0　　4　　用数列极限的定义证明　　3.根据数列极限的定义证明：　　(1)lim=0　　n→∞　　(2)lim=3/2　　n→∞　　(3)lim=0　　n→∞　　(4)lim0.999…9=1　　n→∞n个9　　5几道数列极限的证明题，帮个忙。。。lim就省略不打了。。。　　n/(n^2+1)=0　　√(n^2+4)/n=1　　sin(1/n)=0　　实质就是计算题，只不过题目把答案告诉

24、你了，你把过程写出来就好了　　第一题，分子分母都除以n，把n等于无穷带进去就行　　第二题，利用海涅定理，把n换成x，原题由数列极限变成函数极限，用罗比达法则(不知楼主学了没，没学的话以后会学的)　　第三题，n趋于无穷时1/n=0，sin(1/n)=0　　不知楼主觉得我的解法对不对呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0　　lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1

25、/n^2)=1　　limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0　　§3.2函数极限的性质　　§2函数极限的性质　　ⅰ.目的与要求　　1.理解掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式性，迫敛性定理并会利用这些定理证明相关命题.　　2.掌握函数极限四则运算法则、迫敛性定理,会利用其求函数极限.　　ⅱ.教学重点与难点:　　重点:函数极限的性质.　　难点:函数极限的性质的证明及其应用.　　ⅲ.讲授内容　　在§1中我们引入了下述六种类型的函数极限：　　1)limf

26、?x?；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???　　f?x?；6)limf?x?。4)limf?x?；5)lim??x?x0x?x0x?x0　　它们具有与数列极限相类似的一些性质，下面以第4)种类型的极限为代表来叙述并证明这些性质．至于其他类型极限的性质及其证明，只要相应地作些修改即可.　　定理3．2(唯一性)若极限limf?x?存在，则此极限是唯一的．x?x0　　证设?,?都是f当x?x0时的极限，则对任给的??0，分别存在正数　　?1与?2，使得当0?x?x0??1时有　　f?

27、x?????，(1)当0?x?x0??2时有　　f?x?????，(2)　　取??min??1,?2?，则当0?x?x0??时，(1)式与(2)式同时成立，故有　　????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?　　由?的任意性得???，这就证明了极限是唯一的.　　定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，则f在x0的某空心邻域u0?x0?内有界．x?x0　　证设limf?x???．取??1，则存在??0使得对一切x?u0?x0;??有x?x0　　f?x????1?f?x?

28、??1　　这就证明了f在u0?x0;??内有界．　　定理3．4(局部保号性)若limf?x????0(或?0)，则对任何正数r??（或x?x0　　r???)，存在u0?x0?，使得对一切x?u0?x0?有　　f?x??r?0（或f?x???r?0）　　证设??0，对任何r?(0,?)，取????r，则存在??0，使得对一切　　x?u0?x0;??　　f?x??????r，　　这就证得结论．对于??0的情形可类似地证明．　　注在以后应用局部保