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1、极限证明极限证明1.设f(x)在(??,??)上无穷次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求证当k?n?1时，?x，limf(k)(x)?0．x???2.设f(x)??0sinntdt，求证：当n为奇数时，f(x)是以2?为周期的周期函数；当n为偶数时f(x)是一线性函数与一以2?为周期的周期函数之和．xf(n)(x)?0．?{xn}?3.设f(x)在(??,??)上无穷次可微；f(0)f?(0)?0xlim求证：n?1，????n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．sin(f(x))?1．求证limf(x)存在．
2、4.设f(x)在(a,??)上连续，且xlim???x???5.设a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,证明权限limn??xn存在并求极限值。6.设xn?0,n?1,2,?.证明：若limxn?1?x,则limxn?x.n??xn??n7.用肯定语气叙述：limx???f?x????.8.a1?1,an?1?1,求证：ai有极限存在。an?1t?x9.设函数f定义在?a,b?上，如果对每点x??a,b?,极限limf?t?存在且有限（当x?a或b时，为单侧极限）。证明：函数f在?a,b?上有界。10.设limn
3、??an?a,证明：lima1?2a2???nana?.n??2n211.叙述数列?an?发散的定义，并证明数列?cosn?发散。第15页共15页12.证明：若???af?x?dx收敛且limx???f?x???，则??0.11?an?收敛。?,n?1,2,?.求证：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?n14.证明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是与n无关的常数，limn???n?0.15.设f?x?在[a,??)上可微且有界。证明存在一个数列?xn??[a,?),使得limn??xn?
4、??且limn??f'?xn??0.16.设f?u?具有连续的导函数，且limu???f'?u??a?0,d??x,y?
5、x2?y2?r2,x,y?0?r?0?.i?1?证明：limu??f?u????;?2?求ir???f'?x2?y2?dxdy;?3?求limr2r??dr17.设f?x?于[a,??)可导，且f'?x??c?0?c为常数?,证明：?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。18.设limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n语言证明limana?.n??
6、?bbn?sn?x??19.设函数列?sn?x??的每一项sn?x?都在x0连续，u是以x0为中心的某个开区间，在u??x0?内闭一致收敛于s?x?,又limn??sn?x0????,证明：lims?x????.x?x0第15页共15页20.叙述并证明limx???f?x?存在且有限的充分必要条件?柯西收敛原理???a23.设?f(x)=0.证明xlimf(x)dx收敛,且f(x)在?a,???上一致连续，???24.设a1>0，an?1＝an＋，证明＝1nan25.设f?x?在a的某领域内有定义且有界，对于充分小的h，m?h?与
7、m?h?分别表示f?x?在?a?h,a?h?上的上、下确界，又设?hn?是一趋于0的递减数列，证明：1）limn??m?hn?与limn??m?hn?都存在；2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;3)f?x?在x?(本文来源好)a处连续的充要条件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26设?xn?满足：
8、xn?1?xn
9、?
10、qn
11、
12、xn?xn?1
13、,
14、qn
15、?r?1
16、,证明?xn?收敛。27.设an?a,用定义证明:limn???an?a28.设x1?0，xn?1
17、?31?xn,(n?1,2,?)，证明limxn存在并求出来。n??3?xn29.用“???语言”证明lim30.设f(x)?(x?2)(x?1)?0x?1x?3x?2第15页共15页，数列?xn?由如下递推公式定义：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1n??1，2，?)，求证：limxn?2。31.设fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求证：（a）对任意自然数n，方程fn(x)?1在[0,?/3)内有且仅有一个正根；（b）设xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，则limxn??/3。n??32.设函
18、数f(t)在(a,b)连续，若有数列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使limf(xn)?a(n??)及limf(yn)?b(n??)，则对a，b之间的任意数?，可找到数列xn?a，使得limf(zn)??33.设函数f在[a,b]上连续
