函数极限的证明(精选多篇).doc

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1、函数极限的证明(精选多篇)　　函数极限的证明　　(一)时函数的极限：　　以时和为例引入.　　介绍符号:的意义,的直观意义.　　定义(和.)　　几何意义介绍邻域其中为充分大的正数.然后用这些邻域语言介绍几何意义.　　例1验证例2验证例3验证证……　　(二)时函数的极限：　　由考虑时的极限引入.　　定义函数极限的“”定义.　　几何意义.　　用定义验证函数极限的基本思路.　　例4验证例5验证例6验证证由=　　为使需有为使需有于是,倘限制,就有　　例7验证例8验证(类似有(三)单侧极限:　　1.定义：单侧极限的定义及记法.　　几何意

2、义:介绍半邻域然后介绍等的几何意义.　　例9验证证考虑使的2.单侧极限与双侧极限的关系:　　th类似有:例10证明:极限不存在.　　例11设函数在点的某邻域内单调.若存在,则有　　=§2函数极限的性质(3学时)　　目的：使学生掌握函数极限的基本性质。　　教学要求：掌握函数极限的基本性质：唯一性、局部保号性、不等式性质以及有理运算性等。　　教学重点：函数极限的性质及其计算。　　教学难点：函数极限性质证明及其应用。　　教学方法：讲练结合。　　一、组织教学：　　我们引进了六种极限:,.以下以极限为例讨论性质.均给出证明或简证.　　

3、二、讲授新课：　　(一)函数极限的性质:以下性质均以定理形式给出.　　1.唯一性:　　2.局部有界性:　　3.局部保号性:　　4.单调性(不等式性质):　　th4若和都存在,且存在点的空心邻域,使，都有证设=(现证对有)　　註:若在th4的条件中,改“”为“”,未必就有以举例说明.　　5.迫敛性:　　6.四则运算性质:(只证“+”和“”)　　(二)利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：　　(注意前四个极限中极限就是函数值)　　这些极限可作为公式用.在计算一些简单极限时,有五组基本极限作为公式用,我们将陆续证明这些公式.　

4、　利用极限性质，特别是运算性质求极限的原理是：通过有关性质,把所求极限化为基本极限,代入基本极限的值,即计算得所求极限.　　例1(利用极限和)　　例2例3註:关于的有理分式当时的极限.　　例4　　例5例6例7　　函数极限证明　　记g(x)=lim^(1/n)，n趋于正无穷;　　下面证明limg(x)=max{a1,...am},x趋于正无穷。把max{a1,...am}记作a。　　不妨设f1(x)趋于a;作b>a>=0,m>1;　　那么存在n1,当x>n1,有a/m<=f1(x)注意到f2的极限小于等于a，那么存在n2，当x

5、>n2时，0<=f2(x)同理，存在ni，当x>ni时，0<=fi(x)取n=max{n1,n2...nm};　　那么当x>n,有　　(a/m)^n<=f1(x)^n<=f1(x)^n+...fm(x)^n所以a/m<=^(1/n)　　二元函数极限证明　　设p=f(x,y),p0=(a,b)，当p→p0时f(x,y)的极限是x,y同时趋向于a,b时所得到的称为二重极限。　　此外，我们还要讨论x,y先后相继地趋于a,b时的极限,称为二次极限。　　我们必须(需注明：)注意有以下几种情形：’　　(1)两个二次极限都不存在而二重极限

6、仍有可能存在　　(2)两个二次极限存在而不相等　　(3)两个二次极限存在且相等，但二重极限仍可能不存在　　2　　函数f(x)当x→x0时极限存在，不妨设：limf(x)=a(x→x0)　　根据定义:对任意ε>0,存在δ>0,使当

7、x-x0

8、<δ时,有

9、f(x)-a

10、<ε　　而

11、x-x0

12、<δ即为x属于x0的某个邻域u(x0;δ)　　又因为ε有任意性,故可取ε=1,则有:

13、f(x)-a

14、<ε=1,即:a-1　　再取m=max{

15、a-1

16、,

17、a+1

18、},则有:存在δ>0,当任意x属于x0的某个邻域u(x0;δ)时,有

19、f(x)

20、

21、　　证毕　　3首先，我的方法不正规，其次，正确不正确有待考察。　　1，y以y=x^2-x的路径趋于0limitedsin(x+y)/x^2=limitedsinx^2/x^2=1而y=x的路径趋于0结果是无穷大。　　2，3可以用类似的方法，貌似同济书上是这么说的，二元函数在该点极限存在，是p(x,y)以任何方式趋向于该点。　　4　　f(x,y)={(x^2+y^2)/(

22、x

23、+

24、y

25、)}*sin(1/x)　　显然有y->0,f->(x^2/

26、x

27、)*sin(1/x)存在　　当x->0,f->(y^2/

28、y

29、)*sin(1/x

30、),sin(1/x)再0处是波动的所以不存在　　而当x->0,y->0时　　由

31、sin(1/x)

32、<=1得

33、f

34、<=(x^2+y^2)/(

35、x

36、+

37、y

38、)　　而x^2+y^2<=x^2+y^2+2*

39、x

40、

41、y

42、=(

43、x

44、+

45、y

46、)^2　　所以

47、f

48、<=

49、x

50、+

51、y

52、　　所以显然当x->0,