高三数学第一轮(学生版)不等式的概念与性质、不等式的解法.doc

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1、高三数学不等式的概念与性质、不等式的解法知识点归纳1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号＞、＜、≥、≤、≠连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔a＞b；a－b＝0⇔a＝b；a－b＜0⇔a＜b.另外，若b＞0，则有＞1⇔a＞b；＝1⇔a＝b；＜1⇔a＜b.作差法变形的技巧：作差法中变形是关键，常进行因式分解或配方．3．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b

2、＞c⇔a＞c；(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2)．一种方法待定系数法：求代数式的范围时，先用已知的代数式表示目标式，再利用多项式相等的法则求出参数，最后利用不等式的性质求出目标式的范围．两条常用性质(1)倒数性质：①a＞b，ab＞0⇒＜；②a＜0＜b⇒＜；③a＞b＞0,0＜c＜d⇒＞；④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0⇒＜＜.

3、(2)若a＞b＞0，m＞0，则①真分数的性质：＜；＞(b－m＞0)；②假分数的性质：＞；＜(b－m＞0)．典型例题讲解：例1、（1）1设a，b∈R，现给出下列五个条件：①a＋b＝2；②a＋b>2；③a＋b>－2；④ab>1；⑤logab<0，其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件为(　　)A．②③④；B．②③④⑤；C．①②③⑤；D．②⑤（2）设，给出下列不等式关系：①；②；③；④，其中成立的是____.（3）设，则的取值范围是__________。（4）设，则的取值范围是__________。（5）设则的取值范围是_______

4、___。（6）若实数满足：对任意的正数，均有，则的取值范围是_________。（7）若实数满足：对任意的正数，均有，则的取值范围是_________。（8）若实数满足：对任意的负数，均有，则的取值范围是_________。（9）已知，则的取值范围是__________。（10）已知（填“<”或“>”）（11）设，以下四个命题：①若，则，②若，则，③若，则，④若，则，真命题有________。例2、是的___________条件。例3、已知二次函数的图像过原点，且例4、（1）比较与的大小。变式训练：证明：4、一元一次不等式的解法：一元一

5、次不等式ax+b>0(1)若a>0时,则其解集为{x

6、x>-}.(2)若a<0时,则其解集为{x

7、x<-}.(3)若a=0时,b>0,其解集为R.b≤0,其解集为.例5、关于的不等式（1）若，求解不等式；（2）若，求解不等式；（3）若不等式的解集为，求的值。变式训练：不等式ax－1＞4b的解集为{x

8、x＜1}，则实数a、b需满足的条件为________．5、二次不等式的解法对于一元二次不等式，设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R对于一元二次不等式的解

9、法需注意：①≥0(a＜b)的解集为：{x

10、x≤a或x＞b}；≤0(a＜b)的解集为：{x

11、a≤x＜b}．②从函数观点来看，一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集是一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)在x轴上方的点的横坐标的集合．③三个“二次”的关系常说的三个“二次”即指二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，这三者之间有着密切的联系，这种联系点可以成为高考中的命题点．处理其中某类问题时，要善于产生对于另外两个“二次”的联想，或进行转化，或帮助分析．具体到解一元二次不等式时，就是要善于利用相应的二次函数的图象进行解题分析

12、，要能抓住一元二次方程的根与一元二次不等式的解集区间的端点值的联系解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：（1）按项的系数的符号分类，即;例6、解不等式：变式训练：解不等式（2）按判别式的符号分类，即；例7、设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M［1，4］，求实数a的取值范围变式训练：（1）解不等式（3）按方程的根的大小来分类，即；例8、解不等式例9、（1）解关于x的不等式：ax2－2x＋1＞0.（2）解关于x的不等式：a2x2－2ax＋1－b2＜0(a≠

13、0，b>0)．例10、已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解为0＜α＜x＜β，求不等式cx2＋bx＋a＞0的解集．变式训练：若关于x的不等式－x2＋2x＞mx的解集为{x

14、0＜x＜2}，则实数m的值为_____