2019_2020学年高中数学课时跟踪检测（十三）椭圆及其标准方程北师大版.docx

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1、课时跟踪检测（十三）椭圆及其标准方程一、基本能力达标1．椭圆25x2＋16y2＝1的焦点坐标是(　　)A．(±3,0)　　　　　　　　B.C.D.解析：选D　椭圆的标准方程为＋＝1，故焦点在y轴上，其中a2＝，b2＝，所以c2＝a2－b2＝－＝，故c＝.所以该椭圆的焦点坐标为，故选D.2．若椭圆＋＝1上一点P到焦点F1的距离为3，则点P到另一焦点F2的距离为(　　)A．6B．7C．8D．9解析：选B　根据椭圆的定义知，

2、PF1

3、＋

4、PF2

5、＝2a＝2×5＝10，因为

6、PF1

7、＝3，所以

8、PF2

9、＝7.3．已知椭圆的焦点F1(－1,0)，F2(1,0)，P是

10、椭圆上的一点，且

11、F1F2

12、是

13、PF1

14、与

15、PF2

16、的等差中项，则该椭圆的标准方程为(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选C　∵F1(－1,0)，F2(1,0)，∴

17、F1F2

18、＝2，又∵

19、F1F2

20、是

21、PF1

22、与

23、PF2

24、的等差中项，∴

25、PF1

26、＋

27、PF2

28、＝2

29、F1F2

30、＝4，即2a＝4.又c＝1，∴b2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.4．两个焦点的坐标分别为(－2,0)，(2,0)，并且经过点P的椭圆的标准方程是(　　)A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1解析：选A　由椭圆定义知：2a＝＋＝＋＝2.∴a＝.∴b＝＝.5．若椭圆2k

31、x2＋ky2＝1的一个焦点为(0，－4)，则k的值为________．解析：易知k≠0，方程2kx2＋ky2＝1变形为＋＝1，所以－＝16，解得k＝.答案：6．设P是椭圆＋＝1上一点，F1，F2是其左、右两焦点，若

32、PF1

33、·

34、PF2

35、＝8，则

36、OP

37、＝________.解析：由题意，

38、PF1

39、＋

40、PF2

41、＝6，两边平方得

42、PF1

43、2＋2

44、PF1

45、·

46、PF2

47、＋

48、PF2

49、2＝36.因为

50、PF1

51、·

52、PF2

53、＝8，所以

54、PF1

55、2＋

56、PF2

57、2＝20.以PF1，PF2为邻边做平行四边形，则

58、OP

59、正好是该平行四边形对角线长的一半．由平行四边形的性质知，平行四

60、边形对角线长的平方和等于四边长的平方和，即(2

61、OP

62、)2＋(2c)2＝2(

63、PF1

64、2＋

65、PF2

66、2)．所以4

67、OP

68、2＋(2×2)2＝2×20，所以

69、OP

70、＝.答案：7．求以椭圆9x2＋5y2＝45的焦点为焦点，且经过点M(2，)的椭圆的标准方程．解：法一：方程9x2＋5y2＝45可化为＋＝1.则焦点是F1(0,2)，F2(0，－2)．设椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，∵M在椭圆上，∴2a＝

71、MF1

72、＋

73、MF2

74、＝＋＝(2－)＋(2＋)＝4，∴a＝2，即a2＝12.∴b2＝a2－c2＝12－4＝8.∴椭圆的标准方程为＋＝1.法二：由题意知，焦点F1(0

75、,2)，F2(0，－2)，则设所求椭圆方程为＋＝1(λ＞0)，将x＝2，y＝代入，得＋＝1，解得λ＝8，λ＝－2(舍去)．所求椭圆方程为＋＝1.8．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点分别是F1(0，－1)，F2(0,1)，且3a2＝4b2.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点P在这个椭圆上，且

76、PF1

77、－

78、PF2

79、＝1，求∠F1PF2的余弦值．解：(1)依题意，知c2＝1，又c2＝a2－b2，且3a2＝4b2，所以a2－a2＝1，即a2＝1，所以a2＝4，b2＝3，故椭圆的标准方程为＋＝1.(2)由于点P在椭圆上，所以

80、PF1

81、＋

82、PF2

83、＝2a＝2×2＝4

84、.又

85、PF1

86、－

87、PF2

88、＝1，所以

89、PF1

90、＝，

91、PF2

92、＝.又

93、F1F2

94、＝2c＝2，所以由余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.故∠F1PF2的余弦值等于.二、综合能力提升1．下列说法中正确的是(　　)A．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是椭圆B．已知F1(－4,0)，F2(4,0)，平面内到F1，F2两点的距离之和等于6的点的轨迹是椭圆C．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)两点的距离之和等于点M(5,3)到F1，F2的距离之和的点的轨迹是椭圆D．平面内到点F1(－4,0)，F2(4,0)距离

95、相等的点的轨迹是椭圆解析：选C　A中，

96、F1F2

97、＝8，则平面内到F1，F2两点的距离之和等于8的点的轨迹是线段，所以A错误；B中，到F1，F2两点的距离之和等于6，小于

98、F1F2

99、，这样的轨迹不存在，所以B错误；C中，点M(5,3)到F1，F2两点的距离之和为＋＝4>

100、F1F2

101、＝8，则其轨迹是椭圆，所以C正确；D中，轨迹应是线段F1F2的垂直平分线，所以D错误．故选C.2．椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，P为椭圆上的一点，已知·＝0，则△F1PF2的面积为(　　)A．9　　　　　　　　　B．12C．10D．8解析：选A　∵·＝0，∴PF1⊥PF2.∴

102、P

103、F1

104、2＋

105、PF2

106、2＝

107、F1F2

108、2且

109、PF1

110、＋

111、PF2

112、＝2