一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则.ppt

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1、一、微分的定义二、微分的基本公式三、微分的四则运算法则四、微分形式的不变性五、微分在近似计算中的应用微分及其运算一、微分的定义当正方形的边长从变到时，相应的面积增量.函数增量分成两部分，一部分是的线性部分，一部分是关于的高阶无穷小当立方体的边长从变到时，相应的体积增量函数增量分成两部分，一部分是的线性部分一部分是关于的高阶无穷小定义设y=f(x)在点的某邻域内有定义，属于该邻域.若其中A与无关，而是关于的高阶无穷小，则称y=f(x)在可微，而称为y=f(x)在点处的微分，记为定理3.7y=f(x)

2、可微的充分必要条件是y=f(x)可导，且有.由于，即函数的导数等于函数的微分与自变量微分之比，因此导数也称微商.微分dy的几何意义，就是曲线y=f(x)在点处的切线的纵坐标的增量.二、微分的基本公式微分的基本公式：三、微分的四则运算法则定理3.8设u=u(x)，v=v(x)可微，则,u,v可微，且有证定理3.9设u=u(x)，v=v(x)可微，且，则可微,且有.证例1设解例2设y=xtanx－sinx，求dy.解注意，当然也可以直接用公式求微分.例3设解四、微分形式的不变性设y=f(u),u=g(

3、x)都可微，则复合函数y=f(g(x))也可微，此时有可见，若y=f(u)可微，不论u是自变量还是中间变量，总有，这就是微分形式的不变性.利用微分形式的不变性，可以计算复合函数的微分.例4设解如果不引入中间变量u，则可例5设解当然，也可以直接用公式来求微分，即求出后再乘以dx得到dy.五、微分在近似计算中的应用设y=f(x)在可导，当自变量从变到x(即取得增量)，则有当x很接近时，即很小时，就有近似公式即当容易计算时，就可以用上述的近似公式来计算附近点的函数值.例6解