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《大学经典课件之高等数学——8-2偏导数.pdf》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第八章第二节偏导数一、偏导数的定义及计算二、偏导数的几何意义三、高阶偏导数机动目录上页下页返回结束一、偏导数的定义及计算定义：设函数z=f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域000内有定义，将y固定为y，给x以增量Δx，相应地函00数有增量Δz=f(x+Δx,y)−f(x,y)x0000若极限f(x+Δx,y)−f(x,y)0000limΔx→0Δx存在，则称此极限为函数z=f(x,y)在点(x,y)处对x00的偏导数，记为∂z∂f,z′x=x0,或f′(x,y),xy=yx00x=x∂xx=x00∂x0y=yy=y00机动目录上页下页返
2、回结束同理可定义函数z=f(x,y)在点(x,y)处对y的偏00导数，定义为f(x,y+Δy)−f(x,y)0000limΔy→0Δy∂z∂f记为，，z′yx=x0或fy′(x0,y0).∂yx=x0∂yx=x0y=y0y=y0y=y0机动目录上页下页返回结束如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数，记作∂z∂f，，z′或f′(x,y).xx∂x∂x同理可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数，记作∂z∂f，，z′或f′(x
3、,y).yy∂y∂y机动目录上页下页返回结束偏导数的概念可以推广到二元以上函数如在u=f(x,y,z)(x,y,z)处f(x+Δx,y,z)−f(x,y,z)f′(x,y,z)=lim,xΔx→0Δxf(x,y+Δy,z)−f(x,y,z)f′(x,y,z)=lim,yΔy→0Δyf(x,y,z+Δz)−f(x,y,z)f′(x,y,z)=lim.zΔz→0Δz机动目录上页下页返回结束22例1求z=x+3xy+y在点)2,1(处的偏导数．∂z∂z解=2x+3y;=3x+2y.∂x∂y∂z∴x=1=2×1+3×2=,8∂xy=2∂z=3×1
4、+2×2=.7x=1∂yy=2机动目录上页下页返回结束y例2设z=x(x>,0x≠)1，求证x∂z1∂z+=2z.y∂xlnx∂y∂zy−1∂zy证=yx,=xlnx,∂x∂yx∂z1∂zxy−11y+=yx+xlnxy∂xlnx∂yylnxyy=x+x=2z.原结论成立．机动目录上页下页返回结束例3已知理想气体的状态方程pV=RT∂p∂V∂T（R为常数），求证：⋅⋅=−1.∂V∂T∂pRT∂pRT证p=⇒=−;2V∂VVRT∂VRpV∂TVV=⇒=;T=⇒=;p∂TpR∂pR∂p∂V∂TRTRVRT⋅⋅=−⋅⋅=−=−.12∂V∂T∂p
5、VpRpV机动目录上页下页返回结束有关偏导数的几点说明：∂u１、偏导数是一个整体记号，不能拆分;∂x２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；机动目录上页下页返回结束⎧xy⎪22(x,y)≠)0,0(例4设f(x,y)=⎨x+y⎪⎩0(x,y)=)0,0(求f(x,y)的偏导数.解当(x,y)≠)0,0(时,2222y(x+y)−2x⋅xyy(y−x)f′(x,y)==,x222222(x+y)(x+y)2222x(x+y)−2y⋅xyx(x−y)f′(x,y)==,y222222(x+y)(x+y)机动目录上页下页返回结束当(x,y)
6、=)0,0(时,按定义可知：f(Δx)0,−f)0,0(0f′)0,0(=lim=lim=,0xΔx→0ΔxΔx→0Δxf,0(Δy)−f)0,0(0f′)0,0(=lim=lim=,0yΔy→0ΔyΔy→0Δy22⎧y(y−x)⎪(x,y)≠)0,0(222fx′(x,y)=⎨(x+y),⎪⎩0(x,y)=)0,0(22⎧x(x−y)⎪(x,y)≠)0,0(222fy′(x,y)=⎨(x+y).⎪⎩0(x,y)=)0,0(机动目录上页下页返回结束即f(x,y)在)0,0(点的两个偏导数都存在，但2x1limf(x,y)=lim=≠f)0
7、,0(22x→,0y→,0x=yx→,0y=xx+x2即f(x,y)在)0,0(点不连续。例4说明：多元函数在某点的偏导数都存在并不能保证此函数在这一点是连续的。偏导数存在与连续的关系一元函数中在某点可导连续多元函数中在某点偏导数存在连续机动目录上页下页返回结束⎧2x=x0或y=y0例5设f(x,y)=⎨⎩1其它显然f(x,y)在(x,y)00处不连续，但f(x,y)=0x00f(x,y)=0y000偏导数存在。•(x,y)00机动目录上页下页返回结束二.偏导数的几何意义z复习一元函数导数Txz=f(x,y)Lz=f(x,y)∂zf(x0
8、+Δx,y0)−f(x0,y0)=lim∂xΔx→0ΔxMM固定y=y0得曲线y=y0⎧z=f(x,y)0L：⎨y=y⎩0由一元函数导数的几何意义：y(xy,)∂z00=tanα∂xMx∂zα
