高等数学――8.2偏导数课件.ppt

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1、§8．2偏导数一、偏导数的定义及其计算法二、高阶偏导数偏导数的定义、偏导函数偏导数与导数的关系、偏导数与连续性二阶偏导数、关于二阶混合偏导数的定理一、偏导数的定义及其计算法偏导数的定义：设函数zf(x，y)在点(x0，y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量x时，相应地函数有增量f(x0x，y0)f(x0，y0)，如果极限存在，记作则称此极限为函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对x的偏导数，或fx(x0，y0)．，，，类似地，函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导数

2、定义为记作或fy(x0，y0)．，，对自变量的偏导函数，记作偏导函数：如果函数zf(x，y)在区域D内每一点(x，y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数zf(x，y)或fx(x，y)．，，zx，或fy(x，y)．类似地，可定义函数zf(x，y)在点(x0，y0)处对y的偏导函数，记为，，zy，偏导数与导数的关系：fx(x0，y0)fy(x0，y0)=[f(x，y0)]．．=[f(x0，y)]偏导数与偏导函数的关系：fx(x0，y0)fy(x0，y0)=fx(x，y)．．

3、=fy(x，y)3·12·27．例1求zx23xyy2在点(1，2)处的偏导数．解2x3y，3y2y．2·13·28，2xsin2y，例2求zx2sin2y的偏导数．解2x2cos2y．xyxy2z．解yxy1，xylnx．解，．；证p，因为V，；T，所以1．．二元函数zf(x，y)在点(x0，y0)的偏导数的几何意义：xyzOx0y0zf(x，y0)zf(x0，y)M0TxTy证函数在该点连续．偏导数与连续性：对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存

4、在，也不能保例如不连续．f(x，y)在点(0，0)有，fx(0，0)0，fy(0，0)0．但函数在点(0，0)点并二．高阶偏导数按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数二阶偏导数：设函数zf(x，y)在区域D内具有偏导数fx(x，y)，fy(x，y).，那么在D内fx(x，y)、fy(x，y)都是x，y的函数．如果这两个函数的偏导数也存在，则称它们是函数zf(x，y)的二偏导数．fyy(x，y)．fxx(x，y)，fxy(x，y)，fyx(x，y)，二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导

5、数．fxy(x，y)，fyx(x，y)，其中称为混合偏导数．同样可得三阶、四阶以及n阶偏导数．类似在可定义二元以上函数的高阶偏导数．6x2y9y21；解3x2y23y3y，2x3y9xy2x；6xy2，6y2．6x2y9y21，2x318xy；则在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等．定理如果函数zf(x，y)的两个二阶混合偏导数及在区域D内连续，ln(x2y2)，证因为所以，，，，=0．其中．例8证明函数满足方程0，证，，=0．