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1、三、多元函数的极限定义2.设n元函数点,则称A为函数(也称为n重极限)P0是D的聚若存在常数A,对一记作都有对任意正数,总存在正数,切当n=2时,记二元函数的极限可写作：例1.设求证：证:故总有要证1、改为xy如何？2、四则运算和夹逼定理、无穷小代换、连续性若当点趋于不同值或有的极限不存在，解:设P(x,y)沿直线y=kx趋于点(0,0),在点(0,0)的极限.则可以断定函数极限则有k值不同极限不同!在(0,0)点极限不存在.以不同路径趋于不存在.例3.讨论函数函数二重极限不同.例如,显然与累次极限但由例3知它在(0,0)点二重极限不存在.如果它们都存
2、在,则三者相等.累次存在且相等二重存在。累次不等或不存在二重不存在四、多元函数的连续性定义3.设n元函数定义在D上,如果函数在D上各点处都连续,则称此函数在D上如果存在否则称为不连续,此时称为间断点.则称n元函数连续.连续,例如,函数在点(0,0)极限不存在,又如,函数上间断.故(0,0)为其间断点.在圆周定理：若f(P)在有界闭域D上连续,则在D上可取得最大值M及最小值m;(3)对任意(有界性定理)(最值定理)(介值定理)闭域上多元连续函数有与一元函数类似的如下性质:结论:一切多元初等函数在定义区域内连续.例6.求函数的连续域.解:3.证明在全平面连续.证:
3、为初等函数,故连续.又故函数在全平面连续.由夹逼准则得解:原式五.讨论下列二重极限：2.是否存在？解：所以原极限不存在.例4.求解:因而此函数定义域不包括x,y轴则故第二节一、偏导数概念及其计算二、高阶偏导数偏导数第八章定义1.在点存在,的偏导数，记为的某邻域内则称此极限为函数极限设函数注意:一、偏导数定义及其计算法同样可定义对y的偏导数若函数z=f(x,y)在域D内每一点(x,y)处对x则该偏导数称为偏导函数,也简称为偏导数,记为或y偏导数存在,二元函数偏导数的几何意义:是曲线在点M0处的切线对x轴的斜率.在点M0处的切线斜率.是曲线对y轴的例1.求在点(1
4、,2)处的偏导数.证:例2.设求证注意：函数在某点各偏导数都存在,在点（0，0)偏导。例3:求但在该点不一定连续.在上节已证f(x,y)在点(0,0)并不连续!解：偏导数记号是一个例4.已知理想气体的状态方程求证:证:说明:(R为常数),不能看作分子与分母的商!此例表明,整体记号,二、高阶偏导数设z=f(x,y)在域D内存在连续的偏导数若这两个偏导数仍存在偏导数，则称它们是z=f(x,y)的二阶偏导数.按求导顺序不同,有下列四个二阶偏导数:例5.求函数解:注意:此处但这一结论并不总成立.的二阶偏导数例如,二者不等则定理.例如,对三元函数u=f(x,y,z),说
5、明:本定理对n元函数的高阶混合导数也成立.函数在其定义区域内是连续的,故求初等函数的高阶导数可以选择方便的求导顺序.因为初等函数的偏导数仍为初等函数,当三阶混合偏导数在点(x,y,z)连续时,有而初等例6.证明函数满足拉普拉斯证：利用对称性,有方程内容小结1.偏导数的概念及有关结论定义;记号;几何意义函数在一点偏导数存在函数在此点连续混合偏导数连续与求导顺序无关2.偏导数的计算方法求一点处偏导数的方法先求后代利用定义求高阶偏导数的方法逐次求导法(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序)
