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1、线性代数的软件实践线性代数概念的几何含义 及MATLAB绘图演示西安电子科技大学杨威2010.7一、线性方程组解的几何含义二、向量及向量运算的几何含义四、行列式的几何含义五、线性变换的几何含义(特征向量)六、二次型的几何含义基本内容三、向量组线性相关性的几何含义一、进一步理解线性代数抽象概念的几何含义二、掌握MATLAB软件实现线性代数基本运算的命令基本目标三、灵活应用MATLAB软件的绘图功能演示线性代数概念的几何含义一、线性方程组解的几何含义1、二元方程组例1求下列非齐次线性方程组的解，并用MATLAB绘出解的情况。解：用MATLAB解线性方程组Ax=b的方法有：用MATLAB绘制直线的简
2、单方法为：（1）求逆法（A为方阵）：x=inv(A)*b，或x=A^-1*b（2）初等行变换法：rref([A,b])（3）左除法：x=Abezplot(‘……')单引号内为直线方程在MATLAB命令窗口中运行程序g01.m，可以得到图形：一、线性方程组解的几何含义2、三元方程组例2求下列线性方程组的解，并用MATLAB绘出解的情况。（1）（2）（3）（4）解：用MATLAB的rref命令可以解得：用MATLAB绘制平面的简单方法为：方程组（1）有唯一解方程组（2）有无穷组解方程组（3）和（4）无解ezmesh(‘……’)单引号内为平面方程在MATLAB命令窗口中运行程序g02.m，可以得到
3、图形：一、线性方程组解的几何含义3、用MATLAB解矛盾方程的近似解例3下表给出平面坐标系中5个点的坐标，求过这5个点的圆心坐标。并用MATLAB绘出该圆。12345x-1.10.64.10.65.0y1.24.1-0.8-1.01.2解：设圆心坐标为(x，y)，根据圆心到已知5点的距离相等，列方程：进行化简，可以得到以下线性方程组：在MATLAB命令窗口中运行程序g03.m，可以得到图形：二、向量及向量运算的几何含义1、向量的几何含义二维（三维）向量可以理解为平面坐标系（空间坐标系）中一个有方向的线段，其起点在坐标原点。如下图所示。二、向量及向量运算的几何含义2、向量加法的平行四边形法则，如
4、图所示3、负向量与向量减法：u-v=u+(-v)二、向量及向量运算的几何含义4、向量的数乘设u=(1,2,3)T,那么2u=(2,4,6)T,如图所示,可知2u与u共线，它们的长度是2倍关系。二、向量及向量运算的几何含义5、向量的线性表示举例例4已知向量，请用向量u和v来线性表示向量w，并用MATLAB绘制出线性表示情况。解：求解方程组，解得：在MATLAB命令窗口中运行程序g04.m，可以得到图形：三、向量组线性相关性的几何含义1、若两个向量的夹角不为零（不共线），则这两个向量线性无关2、若两个向量的夹角为零（共线），则这两个向量线性相关3、若三个向量不共面，则这三个向量线性无关4、若三个向
5、量共面，则这三个向量线性相关三、向量组线性相关性的几何含义5、三个3维向量线性相关性的判断例5分析向量组的线性相关性，并用MATLAB绘制其图形。解：设A=(u,v,w)，计算A的行列式
6、A
7、，可以判断其线性相关性。在MATLAB命令窗口中运行程序g05.m，可以得到图形：四、行列式的几何含义1、行列式的几何含义设u、v为二维列向量，以它们为相邻边构成的平行四边形的面积为矩阵A=(u,v)的行列式
8、A
9、的绝对值。设u、v，w为三维列向量，以它们为相邻棱构成的平行六面体的体积为矩阵A=(u,v,w)的行列式
10、A
11、的绝对值。四、行列式的几何含义2、行列式几何含义的应用举例例6（1）已知三角形ABC
12、三个顶点的坐标分别为：(1,2),(3,3),(4,1)，计算该三角形的面积；（2）已知凸九边形九个顶点的坐标分别为：(0,8.5),(3,7),(6,0),(3,-4),(1,-5),(-5,-3),(-7,0),(-5,6),(-3,8),计算该九边形的面积。（3）在平面坐标系中画出以上三角形和九边形。解：(1)如图所示，三角形ABC的面积就等于向量AB和向量AC所构成平行四边形面积的一半。其中：解：(2)如图所示，凸九边形面积是由9-2=7个三角形面积组成。在MATLAB命令窗口运行程序g06.m，即可以算出三角形和九边形面积，同时可以得到图形：五、线性变换的几何含义1、线性变换几何含义
13、举例例7已知向量。请分析经过线性变换后，向量与向量的几何关系。其中分别为：在MATLAB命令窗口运行程序g07.m，可以得到图形：五、线性变换的几何含义2、特征向量几何含义的举例例8已知矩阵MATLAB分析特征向量的几何含义。，求它们的特征值和特征向量，并用解：用MATLAB求矩阵特征值和特征向量的方法为：用MATLAB演示矩阵A的特征向量几何含义的命令为：（1）r=eig(A),列向量r为矩阵A
