线性代数几何背景及应用.ppt

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1、线性代数中的几何背景一、方程及方程组的几何意义二、行列式的几何意义三、平面上线性变换的几何意义四、二维矩阵特征值的几何意义五、向量组的线性相关性的几何意义六、二次型的正定性及其所对应的二次曲面一、方程及方程组的几何意义二元一次方程在几何上表示的是一根直线，则两个二元一次方程组在几何上则表示两根直线的位置关系：相交====〉有惟一解平行====〉无解重合====〉无穷多解例1求解下列三个线性方程组（a）（b）（c）用ezplot(s1),holdon,ezplot(s2),命令可以解出结果如下图其中s1和s2分别为方程的字符串表达式若有三个二元一次方程或更多个数的二元一次方程，代数上称之

2、为“超定方程”，一般是不相容的和无解的，几何中平面上三根或更多根直线很难交于一点。例2求解方程组用图解法解例2三元一次方程在几何上表示平面，从而两个三元一次方程构成的方程组表示两个平面的交线，三个三元一次方程构成的方程组两两联立求交线，得到两个二元一次方程，对于求得两根交线在xoy面上的投影。求得两根交线的交点即为方程组的解。若三个平面不重合且没有交线或交点，则表示该方程组无解。如下例。例3求解下列线性方程组，并画出三维图形来表示解的情况。（1）；（2）；（3）；（4）利用MATLAB的M文件编辑器绘图可得：图3三元非齐次线性方程组解的几何意义从图3中可以看出：方程组（1）的解为三个平

3、面的交点，故该方程组有唯一解；方程组（2）的三个平面刚好相交于同一条直线，这个齐次线性方程组有无穷多解，即解空间是一维的。方程组（3）的三个平面没有共同的交点。即方程组无解。方程组（4）也无解。推广之后，更多元的线性代数方程组，则表示更高维空间内的方程组，虽然很难想象直观的几何图形，但关于方程的基本概念是一脉相承的，涉及到计算就是从几何概念过渡到代数概念。如：阶数、维数等概念。二、行列式的几何意义二维已知向量由向量和所构成的平行四边形的面积为行列式的绝对值三维已知三个向量由这三个向量所构成的平行六面体的体积即为三阶行列式的绝对值如图三、平面上线性变换的几何意义例3已知向量，矩阵，，，，

4、。请分析经过线性变换后，向量与原向量的几何关系。绘制图形如下图所示：图4线性变换的几何意义从图4中可以看出：矩阵对进行线性变换的结果为向量的竖直轴对称向量；矩阵对进行线性变换的结果为向量的水平轴对称向量；矩阵对进行线性变换的结果为把向量的横坐标乘以0.5，把的纵坐标乘以2得到的向量；矩阵对进行线性变换的结果为把向量按顺时针方向旋转所得到的向量。例4：设x为二维平面上第一象限中的一个单位方块，其四个顶点的数据可写成把不同的A矩阵作用于此组数据，可以得到多种多样的结果yi=Ai*x。用程序ag911进行变换计算，并画出x及yi图形：x[0,1,1,0;0,0,1,1];subplot(2

5、,3,1),fill([x(1,:),0],[x(2,:),0],'r')A1[1,0;0,1],y1A1*xsubplot(2,3,2),fill([y1(1,:),0],[y1(2,:),0],'g')绘制几何图形可得：使用MATLAB时，行列式用Di=det(Ai)求得，特征值和特征向量则用[pi,lamdai]=eig(Ai)计算，算得的结果如下：关于笔算与机算的结合①矩阵的赋值和其加、减、乘、除（求逆）命令；②矩阵化为最简行阶梯型的计算命令；[U0,ip]=rref(A)③多元线性方程组MATLAB求解的几种方法；x=inv(A)*b,U=rref(A)④行列式的几种计

6、算机求解方法；D=det(A),[L,U]=lu(A);D=prod(diag(U))⑤n个m维向量组的相关性及其秩的计算方法和命令;r=rank(A),U=rref(A)⑥求线性方程组的基础解系及方程解的MATLAB命令；xb=null(A)⑦矩阵的特征方程、特征根和特征向量的计算命令；f=poly(A);[P,D]=eig(A)⑧化二次型为标准型的MATLAB命令；yTDy=xTAx;其中y=P-1x,解高阶线性方程组的方法解右列方程组AX=b可有多种方法,如(1)X=Ab(2)化为行最简型A=[3,-4,2,2,-1;0,-6,0,-3,-3;4,-3,4,3,-2;1,2,1

7、,0,-5;-2,6,-2,1,3]b=[2;-3;2;-2;1];X=inv(A)*b,pauseC=[A,b],[Uc,ip]=rref(C)应用一：线性方程组与矩阵1.1插值多项式例1给定t-y平面上的三个点(1,2),(2,3)和(3,6)，求过这三点的二次多项式函数：解：本题归结为求a,b,c三个系数，使它们满足下列各方程这是典型的三元线性方程组，用Matlab时，键入：>>B=[1,1,1,2;1,2,4,3;1,3,9,6];x=