数学高考总复习：导数的应用.doc

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1、数学高考总复习：导数的应用编稿：林景飞　责编：严春梅　　一、知识结构：　　　　　　　　　二、高考考点：　　1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等)；　　2.了解函数在一点处的导数的定义和掌握导数的几何意义；　　3.熟记基本导数公式；　　4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则；　　5.了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数；　　6.理解可导函数的单调性与其导数的关系，能利用导数研究函数的单调性；　　7.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)，会求给定函数的极大值、极

2、小值，会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值；　　8.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念及其基本定理。　　三、知识要点：　　（一）导数的相关概念　　1、导数的物理意义：事物的瞬时变化率，如：表示运动物体在时刻的瞬时速度；气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等.　　2、导数的几何意义：过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即。也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为。　　（二）求导数的方法：　　1、几种常见函数的导数公式：　　①；

3、②(a∈Q)；　③；　　　　④；　　⑤　　　⑥　　　　　　　⑦　　⑧　　2、导数的四则运算法则：　　①；　　②；　　③　　（三）导数的应用　　1、求切线方程的一般方法，可分两步：　　（1）求出函数在处的导数；　　（2）利用直线的点斜式得切线方程。（注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.）　　　2、判定函数的单调性　　（1）函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数，应根据问题的具体条件适

4、当选用方法，有时须将区间(a,b)划分成若干小区间，在每个小区间上分别判定单调性。　　（2）函数的单调性与其导数的关系：设函数y=f(x)在某个区间内可导，则当时f(x)为增函数；当时f(x)为减函数。　　3、求函数的极值与最值　　（1）函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个，而且极小值未必小于极大值。仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件，点x0是f(x)的极值点，当且仅当在x0的左右的符号产生变化。　　（2）函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个

5、最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一。　　（3）在实际问题中，要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域，当在定义域内只有一个解时，并且最值一定存在，则此点即为函数f(x)的最值点。　　（四）定积分的概念及其应用　　1.定积分的定义：　　如果函数在区间[a,b]上连续，用分点将区间_______分为n个小区间，在每个小区间上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间[a,b]上的定积分.记作__________　　2.定积分的性质：　　（1）（为常数）　　

6、（2）　　（3）（其中）　　3.微积分基本定理：　　如果，且在上_______，则=_______,其中_________叫做的一个原函数.由于___________也是的原函数，其中c为常数.　　一般地，原函数在上的改变量简记作____________.因此，微积分基本定理可以写成形式：=_______________=_________________.　　注：求定积分主要是要找到被积函数的________，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于_________.由此，求导运算与求原函数运算互为______________.　　

7、4.定积分的几何意义：　　设函数在区间上连续.在上，当时，定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积.在上，当时，由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方，定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值；在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予符号，那么在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.　　5.应用定积分求面积　　（1）如图，由曲线及直线　　　　围成图形的面积公式为：　　　　　　　　　　

8、　　　　　（2）如图，在区间上，，则曲边梯形的面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　6.利用定积分求平面图形面积的步骤：　　（1）画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；　　（2）借助图形确定出