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时间:2020-03-24
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1、数学高考总复习:导数的应用编稿:林景飞 责编:严春梅 一、知识结构: 二、高考考点: 1.了解导数概念的某些实际背景(如瞬时速度、加速度、光滑曲线切线的斜率等); 2.了解函数在一点处的导数的定义和掌握导数的几何意义; 3.熟记基本导数公式; 4.掌握两个函数和、差、积、商的求导法则; 5.了解复合函数的求导法则会求某些简单函数的导数; 6.理解可导函数的单调性与其导数的关系,能利用导数研究函数的单调性; 7.了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号),会求给定函数的极大值、极
2、小值,会求给定函数在闭区间上的最大值、最小值; 8.了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念及其基本定理。 三、知识要点: (一)导数的相关概念 1、导数的物理意义:事物的瞬时变化率,如:表示运动物体在时刻的瞬时速度;气球半径关于体积的导数就是气球的瞬时膨胀率等. 2、导数的几何意义:过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数,即。也就是说,曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是,切线方程为。 (二)求导数的方法: 1、几种常见函数的导数公式: ①;
3、②(a∈Q); ③; ④; ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 2、导数的四则运算法则: ①; ②; ③ (三)导数的应用 1、求切线方程的一般方法,可分两步: (1)求出函数在处的导数; (2)利用直线的点斜式得切线方程。(注意:求切线方程,首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上,可用上法求解;若不在曲线上,可设出切点,写出切线方程,结合已知条件求出切点坐标,从而得方程.) 2、判定函数的单调性 (1)函数f(x)在区间(a,b)内是单调递增或递减的判定可依据单调性定义也可利用导数,应根据问题的具体条件适
4、当选用方法,有时须将区间(a,b)划分成若干小区间,在每个小区间上分别判定单调性。 (2)函数的单调性与其导数的关系:设函数y=f(x)在某个区间内可导,则当时f(x)为增函数;当时f(x)为减函数。 3、求函数的极值与最值 (1)函数极值只反映函数在某点附近值的大小情况。在某区间上函数的极值可能有若干个,而且极小值未必小于极大值。仅是函数f(x)在点x0处有极值的必要条件,点x0是f(x)的极值点,当且仅当在x0的左右的符号产生变化。 (2)函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况。连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个
5、最大值和一个最小值,但是最值点可以不唯一。 (3)在实际问题中,要由实际问题的背景构造出相应的函数关系式y=f(x),并注明其定义域,当在定义域内只有一个解时,并且最值一定存在,则此点即为函数f(x)的最值点。 (四)定积分的概念及其应用 1.定积分的定义: 如果函数在区间[a,b]上连续,用分点将区间_______分为n个小区间,在每个小区间上任取一点(i=1,2,3…,n),作和式,当时,上述和式无限趋近于某个常数,这个常数叫做在区间[a,b]上的定积分.记作__________ 2.定积分的性质: (1)(为常数)
6、(2) (3)(其中) 3.微积分基本定理: 如果,且在上_______,则=_______,其中_________叫做的一个原函数.由于___________也是的原函数,其中c为常数. 一般地,原函数在上的改变量简记作____________.因此,微积分基本定理可以写成形式:=_______________=_________________. 注:求定积分主要是要找到被积函数的________,也就是说,要找到一个函数,它的导函数等于_________.由此,求导运算与求原函数运算互为______________.
7、4.定积分的几何意义: 设函数在区间上连续.在上,当时,定积分在几何上表示由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形的面积.在上,当时,由曲线以及直线与轴围成的曲边梯形位于轴下方,定积分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在上,当既取正值又取负值时,曲线的某些部分在轴的上方,而其他部分在轴下方,如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号,在轴下方的图形的面积赋予符号,那么在一般情形下,定积分的几何意义是曲线,两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和. 5.应用定积分求面积 (1)如图,由曲线及直线 围成图形的面积公式为:
8、 (2)如图,在区间上,,则曲边梯形的面积为 6.利用定积分求平面图形面积的步骤: (1)画出草图,在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像; (2)借助图形确定出
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