[精品]探讨求解离心率的范围.doc

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1、探讨求解离心率的范冃探讨求解离心率的范圉离心率是圆锥曲线的一个重耍性质，是描述曲线“扁平程度”或“张口大小”的一个重要参量，在解析几何屮显得极为重要，它常与“定义”、“焦点三角形”等联系在一起，因此有关求解离心率的取值范围的问题，综合性强、难度大、涉及的知识面广，求解方法灵活多变.一、正余弦定理和均值不等式求解例1已知Fl、F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上，且ZF1PF2二60。,求椭圆离心率e的取值范圉.解法1在厶F1PF2中，由正弦定理得：

2、F1F2

3、2二

4、PF1

5、2+

6、PF2

7、2-2

8、PF1

9、

10、PF2

11、co

12、sZF1PF2=

13、PF1

14、2+

15、PF212-PF11

16、PF2

17、=(

18、PF1

19、+1PF2

20、)2-3

21、PF11

22、PF2

23、三(

24、PF11+1PF2

25、)2-3(

26、PF1+

27、PF2

28、2)2,BP(2c)2^(2a)2-2a2,由此得ca^l2.所以离心率e的取值范围是［12,1)・解法2设ZPF1F2二ci,ZPF2F1二椭圆的长轴长是2a,焦距是2c.则在△F1PF2中，由正弦定理得：FlF2

29、sin60°,IPF21+1PF11sina+sin3=

30、F1F21sin60°乂a+3=120°,-120°

31、贝I」12〈cosci-B2W1,e=ca=

32、FlF2

33、

34、PF1

35、+

36、PF2=sin60°sina+sinB=sin60°2sina+02cosa-B2=12cosa-B2>12.当a二B吋取等号，所以离心率e的取值范围是[12,1).评注灵活地利用正弦定理和均值不等式求解，非常巧妙地求出了椭圆离心率的范围，因此我们在今后的学习屮，不仅要掌握知识，更重要的是能够灵活地运用知识解决实际问题.二、图形的几何特点求解例2如图1所示，已知椭圆长轴为4,以y轴为准线，且左顶点在抛物线y2二x-l上，求椭圆离心率e的取值范围.

37、解析设左顶点为A(x0,y0),椭圆的中心为01,连结01A并延长交y轴于N,则01A=a=2,NA=xO.因为y20二xO-120,所以xOMl.所以e=aa2c=2

38、01N

39、=2x0+2^23,即椭圆离心率e的取值范围为(0,23]・评注根据图形的儿何特点求解椭圆的离心率，简捷、明了.三、点的坐标值的取值范围构造不等式求解例3—组椭圆的长轴长都是10,都是以y轴为左准线，且椭圆的并顶点都在抛物线y2二x-2上，求这些椭圆离心率的变化范围.解析设椭圆左顶点为A(xl,yl).因为椭圆左顶点到左准线的距离为a2c-

40、a,所以xl=a2c-a=25c-5.乂y21二xl-220,所以25c-720,所以cW257,e二c5W57,故0〈eW57・评注巧妙地利用点的坐标值的取值范围求解，充分体现了活用知识的妙趣，提高了我们思维的灵活性和创造性.四、利用焦点三角形三边关系构造不等式求解例4已知双曲线x2a2-y2b2=l(a>0,b〉0)的左、右焦点分别为Fl、F2,左准线为1,P是双曲线左支点上的一点，并且有

41、PF1

42、是P到1的距离d与

43、PF2

44、的比例中项•求双曲线离心率e的取值范围.解析由题设，得

45、PFl

46、2=d

47、PF2

48、；由双

49、曲线的第二定义,得

50、PF1

51、二ed.所以

52、PF2

53、=e

54、PFl

55、.①由双曲线的第一定义,得

56、PF2

57、-

58、PFl

59、=2a.②由①、②得：

60、PFl

61、=2ae-l,

62、PF2

63、=2eae-l.在厶F1PF2中,

64、PF1

65、+

66、PF2

67、M

68、F1F2

69、二2c,所以2ae_l+2eae~l^2c,即e+le-12e,乂e〉l,所以l〈eWl+2・评注通过灵活地运用知识，不仅迅速、简捷地解决了实际问题,而且提高了我们的创造性思维，还有利于培养我们的创新能力.五、正弦函数的有界性构造不等式求解例5若椭圆x2a2+y2b2=l(a>b>

70、0)上存在一点P,使Z0PA=90°,其屮0为原点，A为椭圆的右顶点，求椭圆离心率e的取值范围.解析设P(acos0,bsin6),ZAPB=90°,得bsinBacos0・bsin0acosB一a二一1,艮卩(a2~b2)cos2B~a2cos0+b2=0.①解之得：cos0=1或cosB二b2&2-b2・当cos0=1吋，P与A重合，不合题意，应舍去.因此要使①有意义，须-Kb2a2-b222.乂0

71、，有利于提高我们分析能力和综合运用知识的能力.