求解离心率的范围问题.docx

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1、求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳一、【知识储备】求离心率的方法I林仆•仇衬乙X隽切离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度•常用的方法:(1)直接求出a、c,求解e：已知标准方程或C易求吋，可利用离心率公式=-Ce来求解;(2)变用公式，整体求出e：以椭圆为例，如利用a、aac21

2、2a(3)构造a、c的齐次式，解岀e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造岀a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.二、求解离心率的范围的方法1借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用a,b,c进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围・【例1］己知椭圆的中心在0,右焦点为F,右准线为I,若在I上存在点M,使线段0Mgzca如］的垂直平分线经过点F

3、,则椭圆的离心率的取值范围是40F【答案】:【解析】：如果注意到形助数的特点，借助平面几何知识的最值构建使问题简单化.如图，由于线段0M的垂直平分线经过点F,则SfF=OF=ct利用平面几何折线段大于或等于亶线段(中心到准线之间的距离)，则有2c戈兰."务芈•学科网C2【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建•利用题设和平面儿何知识的最值构建不等式往往使问题简单化【牛刀小试】已知椭圆一+丼=>>与圆Ci:221(ab0)ab222C2:x+y=b

4、,若在椭圆G上存在点p,使得由点P所作的圆C的两条切线互相垂直，则椭圆2Ci的离心率的取值范围是【答案】4i［一⑴2【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB,则两切线形成的角ZAPB最小，若椭圆C上存在点P令1切线互相垂直，则只需_APB-90°,a=ZAPO-45°,宀b/o・・ot=—S.--sinsin45a解得a2<222c,・・・e，而02—,1).22借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围,存在点或直线使方程成立,A的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而

5、求解B_Z<卜一【答1-一>>丄【例2］已知椭圆x2ay上一点A关于原点0的对称点为B,F为其右焦点，若AF21(ab0)bf,bJ2【答案】［―—］23【解析】左焦点为A旌结咼/斤可得四边形心"F罡矩形，所以=所以曲=2c又7in“4F丄DF,所以.JF=2csina,BF=2ccosa.又因为AF=BF，AFX+“4F=2a.所以2csina+2ccosa=2a.即一=asina+cosa字忑43沪忑叙字并子幕-二当故増［芈【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式2csina+a=2ccos2a,

6、然后借助已知条件1247利用三角函数的图象求解离心率的范围2X【牛刀小试】过椭圆C：2a2=>y1(ab0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B,且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F,若1

7、,BF2,ktanBAF+BFa2【解析】如图所示:AFaa23借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函3数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围【例3］已矢口椭圆22X-y=与双曲线

8、Ci:+1m2nC2:2,_有相同的焦点,f_1n则椭圆Ci的离心率e的取值范围为【答案】(2,1)【解析】•・•椭圆G：XT加+2・・•双曲线qe+lt,mnvia•'•由条件有力+2+刀=加一刃,则刃=一1e：=1,由w>0,有m+2>也+2A1-—1—＞1,即才〉丄，而0＜勺＜1…••幺＜勺＜1.学科网w+22也+22222二—~【点评】本题根据题设“相同的焦点"建立等量关系，得到函数关系式a?1,进而根据m的范®m2围，借助反比例函数求解离心率的范围•-=+【牛刀小试】已知两定点A(2,0)和B(2,

9、0),动点P(x,y)在直线I:yx3上移动，椭圆C以A,B为焦点且经过点P,则椭圆C的离心率的最大值为【解析】由题意可知,+cc2,由e2可知e最大时需a最小，由椭圆的定义

10、PA

11、

12、PB

13、2a,即使得Ipai.I£旦

14、最小,如图，设i+

15、+y_+_+,可知D(3+x0y22+2A(2,0)关于直线yx3的对称点D(x,y),由3,1).2=J+=jnJ八22和以

16、PA

17、

18、PB

19、

20、PD

21、

22、PB

23、

24、