求解离心率的范围问题（学生版）

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1、求解离心率的范围问题（学生版）离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法[来源:学,科,网Z,X,X,K]离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；（2）变用公式，整体求出e：以椭圆

2、为例，如利用，；（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.二、求解离心率的范围的方法1借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段[来的垂直平分源:Zxxk.Com]线经

3、过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.【答案】：xyMFO[来源:Z+xx+k.Com]【牛刀小试】已知椭圆与圆，若在椭圆21上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是______________.【答案】2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.【例2】已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　　.【答案】【

4、牛刀小试】过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若＜k＜,则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】()3借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.[来源:学

5、科

6、网Z

7、X

8、X

9、K]【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为_________________.【答案】【牛刀小试】已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆

10、以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为______________.【答案】4根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，21，P是椭圆上任意一点，则等。【例4】设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小值为______．【答案】【牛刀小试】已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【迁移运用】1．如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆

11、的右、下、上顶点，是椭圆[来的右焦点．若，则椭圆的离心率是　．y（第1题）xOFAB2B12．若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为　　　　　。【答案】3．焦点在轴上的椭圆方程为，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为　　　.【答案】考点：椭圆的标准方程与几何性质.4.【山东省肥城市2017届高三上学期升级统测，14】在平面直角坐标系中,若双曲线21的离心率为,则的值为．【答案】5．如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，，，，为椭圆的顶点，为右焦

12、点，延长与交于点，若为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是　　　　【答案】6．如图，，是双曲线的左、右两个焦点，若直线与双曲线交于、两点，且四边形为矩形，则双曲线的离心率为　　　【答案】.7．过双曲线（，）的右焦点作渐进线的垂线，设垂足为（为第一象限的点），延长交抛物线（）于点，其中该双曲线与抛物线有一个共同的焦点，若，则双曲线的离心率的平方为．【答案】考点：双曲线定义【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的

13、关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.218．已知双曲线的左、右焦点分别为，是圆与位于轴上方的两个交点，且，则双曲线的离心率为______________．【答案】9．已知椭圆上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为椭圆的右焦点，且满足，设，且，则该椭圆的离心率e的取值范围为________________.【答案】10．已知中心在坐标原点的椭圆和双曲线有公共焦点，且左