求解离心率地范围问题

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1、标准文案求解离心率的范围问题离心率的范围问题是高考的热点问题，各种题型均有涉及，因联系的知识点较多，且处理的思路和方法比较灵活，关键在于如何找到不等关系式，从而得到关于离心率的不等式，进而求其范围.很多同学掌握起来比较困难，本文就解决本类问题常用的处理方法和技巧加以归纳.一、【知识储备】求离心率的方法[来源:学,科,网Z,X,X,K]离心率是刻画圆锥曲线几何特点的一个重要尺度.常用的方法：（1）直接求出a、c，求解e：已知标准方程或a、c易求时，可利用离心率公式来求解；（2）变用公式，整体求出e：以椭圆

2、为例，如利用，；（3）构造a、c的齐次式，解出e：根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，构造出a、c的齐次式，进而得到关于e的方程，通过解方程得出离心率e的值.二、求解离心率的范围的方法1借助平面几何图形中的不等关系根据平面图形的关系，如三角形两边之和大于第三边、折线段大于或等于直线段、对称的性质中的最值等得到不等关系，然后将这些量结合曲线的几何性质用进行表示，进而得到不等式，从而确定离心率的范围.【例1】已知椭圆的中心在,右焦点为，右准线为，若在上存在点，使线段[来源:Zxxk.Com]的垂直平分线

3、经过点F，则椭圆的离心率的取值范围是_____________.大全标准文案xyMFO【答案】：[来源:Z+xx+k.Com]【点评】离心率的范围实质为一个不等式关系，如何构建这种不等关系？可以利用方程和垂直平分线性质构建.利用题设和平面几何知识的最值构建不等式往往使问题简单化.【牛刀小试】已知椭圆与圆，若在椭圆上存在点P，使得由点P所作的圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率的取值范围是______________.【答案】【解析】椭圆上长轴端点向圆外两条切线PA,PB，则两切线形成的角最小，若椭圆上存

4、在点P令切线互相垂直，则只需，即，∴，解得，∴，即，而，∴，即.2借助题目中给出的不等信息根据试题本身给出的不等条件，如已知某些量的范围，存在点或直线使方程成立，大全标准文案的范围等，进一步得到离心率的不等关系式，从而求解.【例2】已知椭圆上一点关于原点的对称点为为其右焦点，若设且则椭圆离心率的取值范围是　　.【答案】【点评】本题的关键是利用椭圆的定义建立等量关系式，然后借助已知条件利用三角函数的图象求解离心率的范围.【牛刀小试】过椭圆C：的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一个点B，且点B在x轴上的

5、射影恰好为右焦点F，若＜k＜,则椭圆的离心率的取值范围是.【答案】()【解析】如图所示：

6、，，，大全标准文案又∵＜k＜，∴，∴，解得．3借助函数的值域求解范围根据题设条件，如曲线的定义、等量关系等条件建立离心率和其他一个变量的函数关系式，通过确定函数的定义域后，利用函数求值域的方法求解离心率的范围.[来源:学

7、科

8、网Z

9、X

10、X

11、K]【例3】已知椭圆与双曲线有相同的焦点，则椭圆的离心率的取值范围为_________________.【答案】【点评】本题根据题设“相同的焦点”建立等量关系，得到函数关系式，进

12、而根据m的范围，借助反比例函数求解离心率的范围.【牛刀小试】已知两定点和，动点在直线上移动，椭圆以为焦点且经过点，则椭圆的离心率的最大值为______________.大全标准文案【答案】【解析】由题意可知，，由可知最大时需最小，由椭圆的定义，即使得最小，如图，设关于直线的对称点，由，可知.所以，即，所以，则.4根据椭圆或双曲线自身的性质求范围在求离心率的范围时有时常用椭圆或双曲线自身的性质，如椭圆中，，P是椭圆上任意一点，则等。【例4】设为椭圆的左、右焦点，且，若椭圆上存在点使得，则椭圆的离心率的最小

13、值为______．【答案】大全标准文案【点评】为椭圆上的一点是本题的关键条件，根据圆锥曲线的共同特征把转化成基本量，，与的关系式，结合椭圆的范围，即可得到的不等式，从而求出其最小值．【牛刀小试】已知分别为双曲线的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8，则双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】【解析】本题以双曲线为素材，综合考查双曲线的离心率和函数的最值，难度中等．设，则，．又，当且仅当时，等号成立．所以，所以．通过以上类型的分析，灵活多变的离心率范围问题是一个棘手问题，

14、需要通过必要的练习进行方法和思路的寻找，并且培养对题目中的不等关系的灵敏的感知和转化.【迁移运用】1．【苏北四市（淮安、宿迁、连云港、徐州）2017届高三上学期期中】如图，在平面直角坐标系中，已知，，分别为椭圆的右、下、上顶点，是椭圆[来的右焦点．若，则椭圆的离心率是　．y（第10题）xOFAB2B1【答案】大全标准文案2．【江西南昌市2017届摸底考试，10】若圆与双曲线的一条渐近线相切，则此双曲线的离心率为　　　　　。【答案】【解析】[