任意形状覆盖的数值流形方法初步研究.pdf

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1、第30卷第12期长江科学院院报Vo1．30No．122013年12月JournalofYangtzeRiverScientificResearchInstituteDec．2013DOI：10．3969／j．issn．1001—5485．2013．12．0172013，30(12)：91—96任意形状覆盖的数值流形方法初步研究苏海东。祁勇峰，龚亚琦。颉志强，崔建华(长江科学院材料与结构研究所，武汉430010)摘要：在前期研究部分重叠的矩形覆盖基础上，首次提出基于任意形状覆盖的数值流形方法，其特点是：独特的数学覆盖形式，即任意形状的覆盖+条形的

2、覆盖重叠区域；以独立覆盖为主的分析方式；单位分解函数表述的独特性及严格的插值性。对此方法展开初步研究，给出任意形状覆盖的基本形式，以及基于完全重叠覆盖和自由度之间约束关系的实现方法，算例分析初步验证了该方法的有效性。关键词：数值流形方法；任意形状覆盖；部分重叠覆盖；单位分解中图分类号：TB115；TV311文献标志码：A文章编号：1001—5485(2013)12—0091—06迄今为止，绝大多数流形法研究采用有限元网格(如矩形或三角形)作为数学网格j，与某个有限1研究背景元结点相连的所有网格构成一个局部数学覆盖，在早在1991年，我国留美学者

3、石根华博士首先将此覆盖上定义局部覆盖函数，有限单元的形函数作现代数学中的流形思想引入到数值计算中，形成了为权函数。以下称这种流形法为常规流形法，其重数值流形方法(以下简称流形法)，该方法具有以要特点是：每个有限单元正好就是其几个结点上的下特点：数学覆盖的共同区域，或者说，这几个覆盖在有限单(1)数值解的插值区域与实际物理区域分离。元的区域内完全重叠，各覆盖没有自己的独立区域，流形法引入2套覆盖体系，其一是数学覆盖(又称笔者称之为完全重叠的数学覆盖。研究表明，采用为数学网格)，用于构造物理场的近似解；其二是物完全重叠覆盖的常规流形法具有以下缺陷：

4、理网格，表示材料物理边界，用于定义积分区域。这(1)方程组的线性相关问题。在采用高阶多项2套覆盖体系相互独立，只要求前者在空间上完全式覆盖函数情况下，流形法的线性相关问题表现包容后者，这样，数学网格就不必满足材料边界的要为线性方程组的解(即多项式系数)存在但不唯一。求，数学网格内的材料(被称为“流形元”)可以仅占此问题源于权函数的1阶多项式与局部覆盖函数中网格的部分区域。1阶基函数的重叠。(2)流形法的2套覆盖体系将求解域划分成有(2)网格问题。既然采用了有限元网格，就难限个相互重叠的集合，称为物理覆盖。在各个覆盖以摆脱网格划分的问题，虽然“网

5、格不必满足物理上定义局部覆盖函数，通过权函数联系起来进行加边界”的特性已使流形法的前处理比有限元法方便权平均得到整个求解域上的总体场函数。多了，但为了保证局部区域(如结构分析中的裂纹(3)局部覆盖函数可以有多种选择，如目前最尖端附近)的计算精度而在所有区域采用细密的均常用的多项式级数，或其它类型的级数甚至是解析匀网格是不经济的，需考虑局部加密网格，这样就仍解级数。随着级数项数的增加及阶次的提高(即高然存在大、小网格过渡的问题。阶流形法)，计算精度得以提高。在局部覆盖函数石根华博士指出，目前的流形法只是一个初级为多项式级数且权函数也能用多项式表示

6、的情况版本。从2011年开始，在石根华博士的建议下，笔下，流形法采用单纯形精确积分法，将任意形状的复者开展了新型流形法的研究工作，即部分重叠的矩杂积分区域分解为有向单纯形，分别解析积分后求形覆盖的研究J。该方法采用以矩形独立覆盖为其有向和。主的分析方式，独立覆盖之间用较小的条形重叠区收稿日期：2013—07—04；修回日期：2013—09—04基金项目：中央级公益性科研院所基本科研业务费项目(CKSF2013031，CKSF0210012)作者简介：苏海东(1968一)，男，湖北武汉人，教授级高级工程师，博士，主要从事水工结构数值分析工作和计算

7、方法研究，(电话)027—82829754(电子信箱)suhd@mai!．crsri．en。长江科学院院报2013丘域保持覆盖的连续性。与以往的“完全重叠覆盖”间建立联系的不可缺少的工具。相对应，笔者称之为“部分重叠覆盖”。前期研究表将单位分解思想应用于数值计算，表述为J：明，该方法具有以下优点。采用一些重叠的分片区域覆盖整个计算域，在(1)解决了常规流形法的线性相关问题：在覆每片上定义局部近似函数，再加上在上非盖的独立区域内，局部覆盖函数是线性无关的级数，零的单位分解函数，从而构成总体近似函数：仅在覆盖之间较小的重叠区域存在对覆盖函数的加=∑

8、。。(1)权，因此，线性相关性即使仍存在也会减弱很多，有i=l利于方程组的快速迭代求解。式中：n为覆盖数，须满足：(2)适合在局部区域应用解析解：在局