数值流形方法

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1、2012/9/27数值流形方法数值流形方法NumericalManifold数值流形方法是利用现代数学——“流形”的有限Method(NMM)覆盖技术建立起来的一种最新数值方法。有限覆盖是由物理覆盖和数学覆盖所组成，可以处理连续问题和非连续问题。NMM是一种新的数值计算方法，它统一解决有限元、有限元在流形方法中只有一个单一的物理覆盖，它DDA和解析法的计算问题，能同时处理连续和非连覆盖了全部数学覆盖。续问题，具有广泛的应用前景。DDA在流形方法中，则有许多物理覆盖，它们各自覆盖一部分数学覆盖。有限元和DDA在数值流形方法中

2、只是两个特例。2012/9/27数值流形方法2由数学网格和物理网格生成的有限覆盖数学覆盖和物理网格流形——来源于拓扑流形和微分流形，是把许多数学覆盖个别的重叠的区域连接在一起，去覆盖全部材料由用户选择，由占整个材料体的许多有限重叠覆体，总体形状可用局部覆盖所定义的函数来计算。盖组成，如常规的网格、规则的格子、有限元的网格等。数学覆盖只定义解的精度。数值流形与微分流形的区别物理网格微分流形的总体函数是高度可微分的，完全可被作为实际的材料边界，定义其积分区域。包括材定义而与覆盖无关；料体的边界、裂缝、块体和不同材料区域的交界数值

3、流形的总体函数是在覆盖基础上定义的，只面，不变化的水面也是物理网格的一部分。分段微分，在接触交面上几乎都不连续。物理网格代表材料条件，不能人为地选择。2012/9/27数值流形方法32012/9/27数值流形方法4物理覆盖与物理覆盖系统系统有一条裂缝的一般覆盖用三个覆盖V1，V2，V3形成数学网格V2物理覆盖系统是由数学覆盖和物理网格共同组成。21若裂缝或块体边界把一个数学覆盖分成两个或更V1被物理网格分成两个物理覆盖11，121221多的完全不连续的区域，这些区域被定义为物理112321322212V覆盖。1V2被分成两个物理

4、覆11221122312231盖21，22物理覆盖是不连续缝对数学覆盖的再剖分。1113131V13V3被分成两个物理覆盖31，322012/9/27数值流形方法52012/9/27数值流形方法612012/9/27有两条裂缝的一般覆盖链状覆盖系统111V部两122分个2221221定或义更122132为多3313221231112122132单的4V元物41111221122312321理覆55113311111V3盖的661共7同712012/9/27数值流形方法72012/9/27数值流形方法8DDA块体的一般覆盖系统有限覆

5、盖的覆盖函数和权函数覆盖位移函数是对各个物理覆盖独立定义的。物理覆盖Ui上的覆盖函数ui(x)可以是常数、线性、高阶多项式或局部在DDA中，材料体是级数。许多简单的个别块体，每块都是一个数学覆盖，这些覆盖函数用权函数wi(x)联系起来。且各个数学覆盖是一个物理覆盖。wix0xUi数学覆盖和物理网格wix0xUi是一样的，所有覆盖都wx1j不重叠，所以DDA是流xUj形方法的完全不连续情况。权函数的含义是加权平均，它对所有含x的物理覆盖Ui取每个覆盖函数ui(x)的百分数。2012/9/27数值流形方法920

6、12/9/27数值流形方法10总体函数几种计算方法的精度对比流形方法中，覆盖函数独立地建立在单个物理覆盖上，然后将局部位移函数用权函数加权连接在一起，形成总体位移函数。覆盖函数可以是常数、线性函数、非线性函数等；权函数可以是线性函数，也可为非线性函数。由它们的不同组合可得到不同的总体位移函数。整个物理覆盖系统的总体函数根据下面的覆盖函数定义：n解析法和差分法有限元法离散元或DDA流形元uxwxuxiii12012/9/27数值流形方法112012/9/27数值流形方法1222012/9/27二维流形方法的覆盖函数和

7、权函数总体位移函数覆盖位移函数ux,ynux,ynmiwix,yTijx,yDijuix,y(x,y)Uivx,yi1vix,yi1j1vx,y(x,y)UniiTx,yDiii1定义在物理覆盖Ui上的覆盖位移函数ui(x,y),vi(x,y)可以是常量、线性的、高阶多项式或局域级数，用权函数wi(x,y)连接在一起。t1,2j1x,yt1,2jx,yTx,yij——位移矩阵tx,ytx,ywx

8、,y0(x,y)U2,2j12,2jiiwix,y0(x,y)Uidi,2j1Dijwjx,y1di,2jxUj2012/9/27数值流形方法132012/9/27数值流形方法14单元