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《2019高考数学复习专题立体几何第2讲综合大题部分真题押题精练理.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2讲 综合大题部分1.(2018·高考全国卷Ⅰ)如图，四边形ABCD为正方形，E，F分别为AD，BC的中点，以DF为折痕把△DFC折起，使点C到达点P的位置，且PF⊥BF.(1)证明：平面PEF⊥平面ABFD；(2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值．解析：(1)证明：由已知可得BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF.又BF⊂平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.(2)如图，作PH⊥EF，垂足为H.由(1)得，PH⊥平面ABFD.以H为坐标原点，的方向为y轴正方向，
2、
3、为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz.由(1)可得，DE⊥PE
4、.又DP＝2，DE＝1，所以PE＝.又PF＝1，EF＝2，所以PE⊥PF.所以PH＝，EH＝.则H(0,0,0)，P，D，＝，＝.又为平面ABFD的法向量，设DP与平面ABFD所成角为θ，则sinθ＝＝＝.所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为.2．(2018·高考全国卷Ⅱ)如图，在三棱锥PABC中，AB＝BC＝2，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．(1)证明：PO⊥平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．解析：(1)证明：因为PA＝PC＝AC＝4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP＝
5、2.如图，连接OB.因为AB＝BC＝AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB＝AC＝2.由OP2＋OB2＝PB2知PO⊥OB.由OP⊥OB，OP⊥AC，OB∩AC＝O，得PO⊥平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0,0,0)，B(2,0,0)，A(0，－2,0)，C(0,2,0)，P(0,0，2)，＝(0,2,2)．取平面PAC的一个法向量＝(2,0,0)．设M(a,2－a,0)(0≤a≤2)，则＝(a,4－a,0)．设平面PAM的法向量为n＝(x，y，z)．由·n＝0，·n＝
6、0得可取y＝a，得平面PAM的一个法向量为n＝((a－4)，a，－a)，所以cos〈，n〉＝.由已知可得
7、cos〈，n〉
8、＝cos30°＝，所以＝，解得a＝－4(舍去)或a＝.所以n＝.又＝(0,2，－2)，所以cos〈，n〉＝.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.3．(2017·高考全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥PABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角APBC的余弦值．解析：(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.由
9、于AB∥CD，故AB⊥PD，又AP∩PD＝P，从而AB⊥平面PAD.又AB⊂平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD.(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F.由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，
10、
11、为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系Fxyz.由(1)及已知可得A，P，B，C.所以＝，＝(，0,0)，＝，＝(0,1,0)．设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量，则即可取n＝(0，－1，－)．设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量，则即可取m＝(1,0,1)．则co
12、s〈n，m〉＝＝＝－.所以二面角APBC的余弦值为－.4．(2018·高考全国卷Ⅲ)如图，边长为2的正方形ABCD所在的平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点．(1)证明：平面AMD⊥平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值．解析：(1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD.因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，故BC⊥DM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DM⊥CM.又BC∩CM＝C，所以DM⊥平面BMC.而DM⊂平面AMD，故平面AMD⊥平面BMC.(
13、2)以D为坐标原点，D的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点．由题设得D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，M(0,1,1)，A＝(－2,1,1)，A＝(0,2,0)，D＝(2,0,0)，设n＝(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可取n＝(1,0,2)，D是平面MCD的法向量，因此cos〈n，D〉＝＝，sin〈n，D〉＝.所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是.1.如图所示，在平行四边形ABCD中，BC＝2AB＝4，∠ABC＝60°，PA⊥AD，E，F分别
14、为BC，PE的中点，AF⊥平面PED.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)求直
