2019届高考数学专题2函数与导数第2讲综合大题部分真题押题精练文.docx

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1、第2讲　综合大题部分1.(2017·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a<0时，证明f(x)≤－－2.解析：(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝.若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增．若a<0，则当x∈(0，－)时，f′(x)>0；当x∈(－，＋∞)时，f′(x)<0.故f(x)在(0，－)上单调递增，在(－，＋∞)上单调递减．(2)证明：由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最

2、大值，最大值为f(－)＝ln(－)－1－.所以f(x)≤－－2等价于ln(－)－1－≤－－2，即ln(－)＋＋1≤0.设g(x)＝lnx－x＋1，则g′(x)＝－1.当x∈(0,1)时，g′(x)>0；当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0.所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0.所以当x>0时，g(x)≤0.从而当a<0时，ln(－)＋＋1≤0，即f(x)≤－－2.2．(2017·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝(1－x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性；

3、(2)当x≥0时，f(x)≤ax＋1，求a的取值范围．解析：(1)f′(x)＝(1－2x－x2)ex.令f′(x)＝0得x＝－1－或x＝－1＋.当x∈(－∞，－1－)时，f′(x)<0；当x∈(－1－，－1＋)时，f′(x)>0；当x∈(－1＋，＋∞)时，f′(x)<0.所以f(x)在(－∞，－1－)，(－1＋，＋∞)单调递减，在(－1－，－1＋)单调递增．(2)f(x)＝(1＋x)(1－x)ex.当a≥1时，设函数h(x)＝(1－x)ex，则h′(x)＝－xex<0(x>0)．因此h(x)在[0，＋∞)单调递减．而h(0)＝1，故

4、h(x)≤1，所以f(x)＝(x＋1)h(x)≤x＋1≤ax＋1.当00(x>0)，所以g(x)在[0，＋∞)单调递增．而g(0)＝0，故ex≥x＋1.当0(1－x)(1＋x)2，(1－x)(1＋x)2－ax－1＝x(1－a－x－x2)＝－x(x2＋x＋a－1)，取x0＝，则x0∈(0,1)，(1－x0)(1＋x0)2－ax0－1＝0，故f(x0)－ax0－1>0，即f(x0)>ax0＋1.当a≤0时，取x0＝，则x0∈(0,1)，f(x0)>(

5、1－x0)(1＋x0)2＝1≥ax0＋1.综上，a的取值范围是[1，＋∞)．3．(2018·高考全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝.(1)求曲线y＝f(x)在点(0，－1)处的切线方程；(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥0.解析：(1)f′(x)＝，f′(0)＝2.因此曲线y＝f(x)在(0，－1)处的切线方程是2x－y－1＝0.(2)证明：当a≥1时，f(x)＋e≥(x2＋x－1＋ex＋1)e－x.令g(x)＝x2＋x－1＋ex＋1，则g′(x)＝2x＋1＋ex＋1.当x＜－1时，g′(x)＜0，g(x)单调递减；当x＞－1时，g′

6、(x)＞0，g(x)单调递增．所以g(x)≥g(－1)＝0.因此f(x)＋e≥0.1.已知函数f(x)＝lnx＋ax＋(a∈R)．(1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)当a≤时，讨论函数f(x)的单调性．解析：(1)当a＝1时，f(x)＝lnx＋x，x∈(0，＋∞)，所以f′(x)＝＋1，f′(1)＝＋1＝2，f(1)＝ln1＋1＝1，故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为2，切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.(2)因为f(x)＝lnx＋ax＋，所以f′(x)＝＋a－

7、＝(x∈(0，＋∞))．(不可忽视函数的定义域)令g(x)＝ax2＋x－a＋1(x∈(0，＋∞))，①当a＝0时，g(x)＝x＋1，而x>0，所以g(x)>0，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．②当a≠0时，g(x)＝(ax＋1－a)(x＋1)＝a(x－)(x＋1)．(i)当a<0时，>0，当x∈(0，)时，g(x)>0，f′(x)>0，故函数f(x)在(0，)上单调递增，当x∈(，＋∞)时，g(x)<0，f′(x)<0，故函数f(x)在(，＋∞)上单调递减．(ii)当0

8、(x)>0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(iii)当a＝1时，＝0，故当x∈(0，＋∞)时，g(x)>0，所以f′(x)>0，即f(x)在(0，＋∞)上单调递增．(iv)当a>1时，>0，当x∈(0，)时，