2019届高考数学专题8解析几何第2讲综合大题部分真题押题精练文.docx

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1、第2讲　综合大题部分1.(2017·高考全国卷Ⅰ)设A，B为曲线C：y＝上两点，A与B的横坐标之和为4.(1)求直线AB的斜率；(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AM⊥BM，求直线AB的方程．解析：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4，于是直线AB的斜率k＝＝＝1.(2)由y＝，得y′＝.设M(x3，y3)，由题设知＝1，解得x3＝2，于是M(2,1)．设直线AB的方程为y＝x＋m，故线段AB的中点为N(2,2＋m)，

2、MN

3、＝

4、m＋1

5、.将y＝x＋m代入y＝

6、得x2－4x－4m＝0.当Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1时，x1,2＝2±2.从而

7、AB

8、＝

9、x1－x2

10、＝4.由题设知

11、AB

12、＝2

13、MN

14、，即4＝2(m＋1)，解得m＝7.所以直线AB的方程为y＝x＋7.2．(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2,0)，B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.解析：(1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线BM的方程为y＝x＋1或y＝－x－1.

15、(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＞0，x2＞0.由得ky2－2y－4k＝0，可知y1＋y2＝，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.①将x1＝＋2，x2＝＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.所以kBM＋kBN＝0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN.3．(201

16、7·高考全国卷Ⅱ)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝.(1)求点P的轨迹方程；(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.解析：(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，则N(x0,0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)．由＝得x0＝x，y0＝y.因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1.因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知F(－1,0)．设Q(－3，t)，P(m，n)，则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，·＝3＋3m－

17、tn，＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)．由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.所以·＝0，即⊥.又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.1.已知动圆M恒过点(0,1)，且与直线y＝－1相切．(1)求圆心M的轨迹方程；(2)动直线l过点P(0，－2)，且与点M的轨迹交于A，B两点，点C与点B关于y轴对称，求证：直线AC恒过定点．解析：(1)由题意得点M与点(0,1)的距离始终等于点M与直线y＝－1的距离，由抛物线定义知圆心M的轨迹为以点(0,1

18、)为焦点，直线y＝－1为准线的抛物线，则＝1，p＝2.∴圆心M的轨迹方程为x2＝4y.(2)证明：由题意知直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C(－x2，y2)，由得x2－4kx＋8＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝8.kAC＝＝＝，直线AC的方程为y－y1＝(x－x1)．即y＝y1＋(x－x1)＝x－＋＝x＋，∵x1x2＝8，∴y＝x＋＝x＋2，则直线AC恒过点(0,2)．2．已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，过点(0,1)且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：y＝x＋m与

19、椭圆E交于A，C两点，以AC为对角线作正方形ABCD，记直线l与x轴的交点为N，问B，N两点间的距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．解析：(1)由题意可知，椭圆的焦点在x轴上，椭圆过点(0,1)，则b＝1.由椭圆的离心率e＝＝＝，解得a＝2，所以椭圆E的标准方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，C(x2，y2)，线段AC的中点为M(x0，y0)．由整理得x2＋2mx＋2m2－2＝0.由Δ＝(2m)2－4(2m2－2)＝8－4m2>0，解得－

20、1＋x2)＋2m＝m，所以线段AC的中点为M(－m，m)．则

21、AC

22、＝×＝×＝.l与x轴的交点为N(－2m,0)，所以

23、MN

24、＝＝，所以

25、BN

26、2＝

27、BM

28、2＋

29、MN

30、2＝

31、AC

32、2＋

33、MN

34、2＝.故B，N两点间的距离为