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1、第三章二维随机变量及其分布第一节基本概念1、概念网络图2、重要公式和结论（1）联合分布离散型如果二维随机向量（X，Y）的所有可能取值为至多可列个有序对（x,y），则称为离散型随机量。设=（X，Y）的所有可能取值为，且事件{=}的概率为pij,,称为=（X，Y）的分布律或称为X和Y的联合分布律。联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：YXy1y2…yj…x1p11p12…p1j…x2p21p22…p2j…xipi1……这里pij具有下面两个性质：（1）pij≥0（i,j=1,2,…）；（2）连续型对于二维随机向量，如果存在非负函数，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的
2、矩形区域D，即D={(X,Y)
3、ax1时，有F（x2
4、,y）≥F(x1,y);当y2>y1时，有F(x,y2)≥F(x,y1);（3）F（x,y）分别对x和y是右连续的，即（4）（5）对于.（4）离散型与连续型的关系（5）边缘分布离散型X的边缘分布为；Y的边缘分布为。连续型X的边缘分布密度为Y的边缘分布密度为（6）条件分布离散型在已知X=xi的条件下，Y取值的条件分布为在已知Y=yj的条件下，X取值的条件分布为连续型在已知Y=y的条件下，X的条件分布密度为；在已知X=x的条件下，Y的条件分布密度为（7）独立性一般型F(X,Y)=FX(x)FY(y)离散型有零不独立连续型f(x,y)=fX(x)fY(y)直接判断，充要条
5、件：①可分离变量②正概率密度区间为矩形二维正态分布＝0随机变量的函数若X1,X2,…Xm,Xm+1,…Xn相互独立，h,g为连续函数，则：h（X1，X2,…Xm）和g（Xm+1,…Xn）相互独立。特例：若X与Y独立，则：h（X）和g（Y）独立。例如：若X与Y独立，则：3X+1和5Y-2独立。（8）二维均匀分布设随机向量（X，Y）的分布密度函数为其中SD为区域D的面积，则称（X，Y）服从D上的均匀分布，记为（X，Y）～U（D）。例如图3.1、图3.2和图3.3。y1D1O1x图3.1yD211O2x图3.2yD3dcOabx图3.3（9）二维正态分布设随机向量（X，Y
6、）的分布密度函数为其中是5个参数，则称（X，Y）服从二维正态分布，记为（X，Y）～N（由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N（但是若X～N（，(X，Y)未必是二维正态分布。（10）函数分布Z=X+Y根据定义计算：对于连续型，fZ(z)＝两个独立的正态分布的和仍为正态分布（）。n个相互独立的正态分布的线性组合，仍服从正态分布。，Z=max,min(X1,X2,…Xn)若相互独立，其分布函数分别为，则Z=max,min(X1,X2,…Xn)的分布函数为：分布设n个随机变量相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度
7、为我们称随机变量W服从自由度为n的分布，记为W～，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数。分布满足可加性：设则t分布设X，Y是两个相互独立的随机变量，且可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为t分布，记为T～t(n)。F分布设，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～f(n1,n2).例3．1二维随机向量（X，Y）共有六个取正概率的点，它们是：（1，-1），（2，-1），（2，0），2，2），（3，1），（3，2），并且（X，Y）取得它们的概率相
8、同，则（X，Y）的联合分布及边缘分布为YX-1012p1·100020300p·j1例3．2：设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D上服从均匀分布，其中求X的边缘密度fX(x)例3．3：设随机变量X以概率1取值0，而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立。例3．4：如图3.1，f(x,y)=8xy,fX(x)=4x3,fY(y)=4y-4y3，不独立。例3．5：f(x,y)=例3．6：设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～U（0，1），Y～e（1），求Z=X+Y的分布密度函数fz(z)。例3．7：设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为e(1)
