电路原理课件-拉普拉斯变换.ppt

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1、频域分析法时域分析法复频域分析法线性动态电路的求解方法第九章拉普拉斯变换建立电路的输入-输出方程，求解满足给定初始条件的解。将时域变到频域（将时域里的微分方程化为相量代数方程）进行分析，再返回时域。将时域变到复频域（将时域里的微分方程化为复频域函数的代数方程）进行分析，再返回时域。本章知识要点拉普拉斯变换的基本性质拉普拉斯变换的基本概念拉普拉斯反变换拉普拉斯变换反变换公式拉普拉斯变换表部分分式展开拉普拉斯变换法是一种数学积分变换，其核心是把时间函数f(t)与复变函数F(s)联系起来，把时域问题通过数学变换为复频域问题，把时间域的高阶微分方程变换为复频

2、域的代数方程以便求解。熟悉的变换§91拉普拉斯变换一、拉普拉斯变换简介相量法把时域的正弦运算变换为复数运算对应拉氏变换：时域函数f(t)(原函数)复频域函数F(s)(象函数)因果函数(causalfunction)f(t)仅存在于t0的时间区间如果f(t)存在于整个时间区间，则用f(t)ε(t)表示因果函数。s=+j,称为复频率(complexfrequency)F(s)称为ƒ(t)的象函数、ƒ(t)称为F(s)的原函数。从ƒ(t)到F(s)变换称为拉普拉斯正变换(Laplacetransform)二、拉普拉斯变换的定义拉普拉斯正变换=[f(

3、t)]用符号[]表示对方括号里的时域函数作拉氏变换。象函数原函数象函数F(s)存在的条件:积分的结果不再是t的函数，而是s的函数。拉氏变换是把一个时间域的函数f(t)变换到s域内的复变函数F(s)。变量s称为复频率。应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，又称运算法。拉氏变换的积分从t=0-开始，可以计及t=0时f(t)包含的冲激的情况，从而给计算存在冲激函数电压和电流的电路带来方便。=[f(t)]如果F(s)已知，要求出与它对应的原函数ƒ(t)，由F(s)到ƒ(t)的变换称为拉氏反变换，它定义为拉普拉斯反变换=1[F(s)]式中c

4、为正的有限常数。用符号1[]表示对方括号里的复变函数作拉氏反变换。(inverseLaplacetransform)例1求单位阶函数(t)的拉普拉斯象函数。解:收敛域为s平面的右半平面二、典型函数的拉普拉斯变换例2求单位冲激函数(t)的拉普拉斯象函数。解:收敛域包括整个s平面。例3求单边指数函数eatε(t)（a为复常数）的拉普拉斯象函数。解：Re[s]=>Re[a]§92拉普拉斯变换的基本性质1.线性组合定理(Linearcombinationtheorem)例1求cost(t)及sint(t)的拉普拉斯象函数。解：同理可得[af

5、1(t)bf2(t)]=a[f1(t)]b[f2(t)]2.微分定理(differentiationtheorem)*证明：由于由分部积分法[f(t)]微分定理可以推广至求原函数的二阶及二阶以上导数的拉普拉斯变换，即解：例2已知，求、例3某动态电路的输入输出方程为响应及其一阶导数的原始值分别为r(0)及r(0)，激励函数的原始值e(0)=0。求响应的象函数。解：令激励和响应的象函数分别为代入e(0)=0后整理得3.积分定理(integrationtheorem)证明：例4求的原函数。解：同理4.时域位移定理(time-shiftthe

6、orem)证明：例51Ttf(t)TTf(t)例6求矩形脉冲的象函数解根据延迟性质求三角波的象函数解解：例7求u(t)的拉普拉斯象函数U(s)。5.初值定理与终值定理（1）初值定理(initial-valuetheorem)证明：（2）终值定理(final-valuetheorem)证明：利用初值定理和终值定理，根据已知的象函数F(s)可直接在复频域中确定其对应原函数f(t)的初值和终值。例8设验证初值定理和终值定理。解：又有由初值定理可得由终值定理可得例9采用拉氏变换求电容器对电阻放电时的电容电压uC(t)t≥0+验证初值定理和终值定理6.时域卷积

7、定理(timedomainconvolutiontheorem)证明：例10已知：求解：例11设一个RL串联电路中的激励电压为电流的冲激响应为，而电路。求此电路电流的零状态响应。解1：直接在时域内求解，则有解2：利用时域卷积定理，在复频域内求解拉普拉斯反变换简表象函数原函数1ss2§93进行拉普拉斯反变换的部分分式展开法用拉氏变换求解线性电路的时域响应时，需要把求得的响应的拉氏变换式反变换为时间函数。由象函数求原函数的方法：(1)利用公式(2)对简单形式的F(S)可以查拉氏变换表得原函数(3)把F(S)分解为简单项的组合部分分式展开法部分分式展开

8、法(partialfractionexpansionmethod)F(s)为有理真分式(即m