《拉普拉斯变换 》ppt课件

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1、第三章拉普拉斯变换3.1引言3.2拉普拉斯变换3.3拉普拉斯变换的收敛域3.4常用函数的拉普拉斯变换3.5拉普拉斯反变换3.6拉普拉斯变换的基本性质小结13.1引言傅立叶分析工具在研究信号和线性时不变系统的很多问题时，是极为有用的。但傅立叶变换有不足之处。1、要求信号f(t)绝对可积。而有些常用信号不满足该条件。2、有些重要函数如eat(a>0)的傅立叶变换不存在，无法用傅立叶分析方法处理。而拉氏变换作为傅氏变换的推广，解决了上述不足。2拉氏变换与傅氏变换的关系：1、傅立叶变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项虚指数信号ejt之和

2、。2、拉普拉斯变换是将时间函数f(t)分解为无穷多项复指数信号est之和。其中s=+js称为复频率3、拉普拉斯变换是傅立叶变换的推广3.1引言返回33.2拉普拉斯变换一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换1、傅立叶变换定义当函数f(t)满足狄里赫利条件时42、当函数不满足绝对可积条件时F一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换称为收敛因子其中令s=+j因为上式中t为积分变量,故积分结果必为s的函数将f(t)乘以衰减因子e-t(为一实常数)，恰当地选取的值就有可以使f(t)e-t变得绝对可积，即5令s=+j，,因为常数，所以d=1/

3、jds，且当时，sj进行积分换元用傅立叶反变换的定义方法求拉氏反变换两边同乘et(1)式和(2)式为双边拉普拉斯变换对一、从傅立叶变换到拉普拉斯变换6二、拉普拉斯变换定义1、双边拉普拉斯变换s称复频率，Fb(s)称信号的复频谱72、单边拉普拉斯变换f(t)为有始函数，即t<0时，f(t)=0本课程主要所讨论单边拉普拉斯变换记作：83、复平面(s平面)当s=+j确定时，指数函数est也确定了反映指数函数est的幅度变化速度>0,幅度发散<0,幅度收敛反映指数函数est的因子ejt作周期变化的频率返回以复

4、频率s=+j的实部和虚部j为相互垂直的坐标轴而构成的平面.右半开平面左半开平面93.3拉普拉斯变换的收敛域(ROC)1、定义：把使f(t)e-t满足绝对可积条件的的取值范围称为拉氏变换的收敛域。2、单变拉氏变换的收敛条件若f(t)为有始函数，且存在下列关系则收敛条件为称为收敛坐标103、指数阶函数凡是满足的函数称为指数阶函数几个简单的函数1.时限信号时限信号在时间轴上有始有终，其能量是有限的。对没有要求，收敛域为整个s平面3.3拉普拉斯变换的收敛域112.单位阶跃信号u(t)对于>0的任何值，都有所以其收敛域为s平面的

5、右半面3.线性增长信号tn对于>0的任何值，都有所以其收敛域为s平面的右半面3.3拉普拉斯变换的收敛域124.指数函数3.3拉普拉斯变换的收敛域返回只有当时，才有所以其收敛域为s平面上的部分.133.4常用函数的拉普拉斯变换设f(t)为有始函数，只讨论单边拉氏变换1、单位阶跃信号u(t)L即L即L2、指数函数143、tnn为正整数LL即L3.4常用函数的拉普拉斯变换154、正弦函数则3.4常用函数的拉普拉斯变换16即同理3.4常用函数的拉普拉斯变换175、冲激函数(t)即同理3.4常用函数的拉普拉斯变换返回183.5拉普拉斯反变

6、换利用拉氏变换进行系统分析时，常常需要从象函数F(s)求出原函数f(t)。一、部分分式法其中，ai,bj均为实数，m，n为正整数部分分式法的实质：将F(s)展开为简单分式之和，再逐项求出其拉氏反变换。19一、当mn时设N(s)比D(s)高r阶将F(s)化为s的多项式与真分式之和则其拉氏反变换为：一、部分分式法20二、F(s)为真分式的情况1、D(s)=0的根为单实根将上式展开为n个简单分式之和，即其中，ki为待定系数一、部分分式法211.为了确定ki，在方程两端同时乘以因子(s-pi)，再令s=pi，则一、部分分式法或用罗比塔法则

7、导出另一公式：22当s=pi时，(s-pi)和D(s)均为零，所以由罗比塔法则可以求得一、部分分式法23确定了ki之后，求出各简单分式对应的时间函数，迭加后即为f(t)一、部分分式法24例：已知求f(t)解：有两个互异实根将F(s)展开为部分分式：一、部分分式法25即一、部分分式法所以：26２、D(s)=0的根为重实根的情况设p1为r重实根式中：含有单极点因子的部分分式系数求法与前述同一、部分分式法27含有重极点因子的部分分式系数求法如下：一、部分分式法28一、部分分式法29３、D(s)=0的根为共轭复根的情况因为D(s)的系数均为

8、实数，所以有复根出现时，必为成对的共轭复根。一、部分分式法设则30（１）用上面所讲方法进行部分分式展开这种方法要进行复数运算，比较麻烦（２）配方法一、部分分式法31已知正弦函数余弦：所以，可以把含有共轭复根的部分分式用配方法写成如下形