2013年华约自主招生数学试题及解析.doc

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1、2013年华约自主招生数学试题1．设，，且中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9．（1）求中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）将中的元素从小到大排列，求第1081个元素．2．已知，，求，．3．点在上，点在上，其中，，且，在轴同侧．（1）求中点的轨迹的方程；（2）曲线与抛物线相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程．4．7个红球，8个黑球，任取4个．（1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全为黑球的概率．5．已知，

2、，，．（1）证明对任意的，存在正整数，使得对于，（2）设，记为前项和，证明有界，且时，存在正整数，时．6．设是两两不等且大于1的正整数，求所有使得整除的．7．设．（1）证明当时，；（2）令，，证明递减且．2013年华约自主招生数学试题解析1．设，，且中元素满足：任意一个元素各数位的数字互不相同；任意一个元素的任意两个数字之和不等于9．（1）求中的两位数和三位数的个数；（2）是否存在五位数，六位数？（3）将中的元素从小到大排列，求第1081个元素．解析（1）所有的两位数共90个，其中数字相同的有9个，两数字之和为9的有9个，所以中的两位数有

3、90―9―9＝72个；所有的各数位的数字互不相同三位数共9×9×8＝648个，其中含有数字0和9的有4×8＝32个，含有数字1和8，2和7，3和6，4和5的各有4×8＋2×7＝46个，所以中的三位数有648―32―46×4＝432个；另解（1）将10个数字分为5组：（0，9），（1，8），（2，7），（3，6），（4，5），每组中的两数不能同时出现在一个元素中．对于两位数，若最高位为9，则共有2×4＝8个，若最高位不为9，则共有2×4×4×2＝64个，所以中的两位数有72个；对于三位数，若最高位为9，则共有×2×2＝48个，若最高位不为9

4、，则共有×2××2×2＝384个，所以中的三位数有48＋384＝432个；（2）对于五位数，若最高位为9，则共有×2×2×2×2＝384个，若最高位不为9，则共有×2××2×2×2×2＝3072个，所以中的五位数有3072＋384＝3456个；显然中不存在六位数．（3）中的两位数和三位数共有72＋432＝504个，在中的四位数中，千位上为1，2，3的各有192个，而504＋192×3＝1080个，所以第1081个元素应为四位数中，千位上为4的最小数，即4012．2．已知，，求，．解析由，得……①由，得……②两式相加，得，所以．又由，得……

5、③由，得……④两式相除，得，所以．3．点在上，点在上，其中，，且，在轴同侧．（1）求中点的轨迹的方程；（2）曲线与抛物线相切，求证：切点分别在两定直线上，并求切线方程．解析（1）设，，，由，得，所以．设点的坐标为，则，所以，即点的轨迹的方程为．（2）因为曲线与抛物线相切，得，由，得，此时，两切点坐标为，，即切点分别在两定直线上．切线方程分别为和．4．7个红球，8个黑球，任取4个．（1）求恰有1个红球的概率；（2）记取黑球个数为，求其分布列和期望；（3）取出4球同色，求全为黑球的概率．解析（1）恰有1个红球的概率为；（2）黑球个数为，黑球数

6、为0的概率为；黑球数为1的概率为；黑球数为2的概率为；黑球数为3的概率为；黑球数为4的概率为；其分布列为01234的数学期望为0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝．（3）由（2）知4球同色的概率为，所以，取出4球同色，全为黑球的概率为．5．已知，，，．（1）证明对任意的，存在正整数，使得对于，（2）设，记为前项和，证明有界，且时，存在正整数，时．解析（1）由，，知，于是所以对任意的，要使，只需，，取，于是，．（2），所以，＞0，由（1）知，所以，即，所以有界；令，得，取，则时．6．设是两两不等且大于1的正整数，求所有使得整除的．解析因为＝＋－1

7、，而能被整除，于是只需－1能被整除即可．又是两两不等且大于1的正整数，不妨设∴－1，即，∴．于是只需－1能被整除，当然　，即，∴．于是，∴，进而，∴，4．检验知2、3、5能使－1能被整除，∴．7．设．（1）证明当时，；（2）令，，证明递减且．解析（1）因为，又当时，，所以当时，；（2）由，得，又，可得．由（1）知时，，，，∴，即，递减．下面用数学归纳法证明．时显然成立，假设（）时，，构造函数，当时，为增函数，∴．又当时，，再设函数，则，在上是增函数，，∴，∴,,由数学归纳法知，对于正整数，有．