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《2013华约自主招生数学试题(含解析)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、2013年“华约”自主招生考试数学试题一、已知集合A=｛xeZx>lQ｝,B是A的子集，且3中元素满足下列条件:⑴数字两两不相等，⑵任意两数字之和不等于9.试求：(I)3中冇多少个两位数？冇多少个三位数？(II)3屮是否有五位数？是否有六位数？(III)将B中的元素从小到大排列,第1081个元素是多少?二、已知sinx+siny=-,cos兀一cosy=—,求sin(兀・y),cos(x+y)的值三、设k>0,从直线y=Ax和y=-kx上分别选取点A(xa,yA),B(xb,刈)，使得兀人•勒>0,OA-OB=+k2,0为坐标原点，AB的中点M的轨迹为Co(I)求C的轨迹方程
2、；(II)抛物线x2=2px(p>0)与C相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程。四、7个红球和8个黑球，从中任取4个。(I)求恰好有一个红球的概率(II)社四个求中黑球的个数为X,求X的分布列及数学期望EX。(III)求当四个求均为一种颜色时，这种颜色为黑球的概率。五、己知an+=an4-zz=1,2,3,,>0,c>0,(I)对任意的M>0,存在正整数N,使得对于n>N，恒有心〉M；(II)设仇:=,S”为｛仇｝的前“项和。证明：｛S”｝有界且对d>0,存在正整数C®+1当n>k时，恒有0VS”一丄3、ry・l)(37：・l)Ux・l)，求x、y、z的所有可能的值。七、已知金)=(1-X)八1.(I)证明：当兀>011寸，f(x)<0；(II)若兀/%=严_1,七=1,证明数列｛心｝递减，且兀">—.""2“参考答案一、已知集合A=｛xeZ
4、x>10｝,B是A的子集，且B中元素满足下列条件：“（i）数字两两不等；“（辽）任意两个数字之和不等于9。“试求:a（1）B中有多少个两位数？多少个三位数？卩（2）B中是否有五位数？是否有六位数？3（3）将B中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？a解答：我们将和为9的数字两两配对：｛0,9｝、｛1,8｝、｛2,7｝、｛3,6｝、（4,5｝。显
5、然，B中的元素不能同时含有任意一对数字中的两个数字。“（1）B中两位数,十位数字有2、3、・・・・・・、9,共9种选择；十位数字选定后,个位数字有8种选择。所儿B中的两位数共有9X8=72介；3B中的三位数，百位数字有1、2、3、•…、9,共9种选择;百位数字选定后，十位数字有8种选择；百、十位数字选定后，个位数字还有6种选择。所以，B中的三位数共有9x8x6=432个。a（2）B中存卷五位数，比如1234隈卩满足条件，为B中的一个元素。“B中不存在六位数。因为｛0,9｝、｛1,8｝、｛2,7｝、｛3,6｝、｛4,5｝,每对中的两个数字之和为9,所以B中元素在每对中最多只能取一个数字，即
6、最多只能取五个数字，因此最多为五位数，不可能为六位数。“（3）B中二位数、三位数共有72+432=504介。“B中的四位数,千位数字有1、2、3、•…、9,共9种选择;千位数字选定后,百位数字有8种选择；千、百位数字选定后，十位数字有6种选择；千、百、十位数字选定后，个位数字还有4种选择。所儿B中的三位数共有9X8X6X4=172址。卩所以B中元素从小到大排列，第108址元素为四位数，且为四位数中第1081-504=577±o35中四位数，千位数字为1的共有8X6X4=192介；千位数字为2的共有8x6x4=192个：千位数字为3的共有8X6X4=192个。而192+192+192=57
7、6,所以B中第1081介元素为千位数字是4的，满足题设条件的最小■四位数，显然为4012。卩二、已知sinx+siny=],cosx~cosy=求sin(x-y)、cos(x+y)的值。a解答：根据条件知：a352411=(sinx+siny)2+(cosx-cosy)2心=(sin2x+cos2x)+(sin2y+cos2y)—2(cosxcosy—sinxsiny)®=2—2cos(x+y)3解得cos(x+y)=資。a厶ZBy根据条件知：d(sinx+siny)(cosx-cosy)a=(sinxcosx-sinycosy)一(sinxcosy-cosxsiny)w=7(sin2x
8、-sin2y)一sin(x-y)=cos(x+y)sin(x-y)-sin(x一y)亠=[cos(x+y)—1]sin(x_y)'所以sin(x-y)=页孟兀严又因为cos(x+y)=需，所以sin(x-y)=三、设k>0,从直线y=kx和y=-灶上分别选取点A（xa,%）、B（xb,yB）,使得xA-xB>0,
9、OA
10、.
11、OB
12、=l+k%0为坐标原点，AB中点M的轨迹为C。“（1）求C的轨迹方程；3（2）抛物线x2=2py（p>0
