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1、抽象函数性质综述抽彖函数型综合问题，一般通过对函数性质的代数表述,综合考竇学生对于数学符号语言的理解和接受能力，考查对于函数性质的代数推理和论证能力，考杳学生对于一般和特殊关系的认识.函数的周期性、对称性一般与抽象函数结合，综合函数的其它性质一起考杳.函数的周期性要紧扣周期函数的定义•要注意，函数的周期性只涉及到一个函数.函数的对称性比较复杂，要分清是一个函数的对称性，还是两个函数的对称性；分清是轴对称还是屮心对称.%1.基本定义1、定义1：(周期函数)对于函数/(x),如果存在一个非零常数7使得当兀取定义域的每一个值时
2、，都有/(%+T)=/(x),那么，函数/⑴就叫做周期函数.非零常数T叫做这个函数的周期.2、定义2：(同一函数图象的对称性)若函数y=/(x)图象上任一点关于点P(或直线/)的对称点仍在函数y=/(x)的图象上，则称函数y=/(x)的图象关于点P(或肓线/)对称.3、定义3：(两个函数图象的对称性)若函数y=/(x)图象上任一点关于点P(或直线/)的对称点在函数y=g(x)的图象上；反过来，函数y=g(x)图象上任一点关于点P(或直线/)的对称点也在函数y=/(x)的图象上,则称函数y=/(x)与尸g(x)的图象关于点P
3、(或直线/)对称.二、关于周期性.对称性的几个基本结论及证明1、若函数y=/(x)的定义域为/?,且f(a+x)=f(x-b)恒成立，则函数y=f(x)是以T=a+b为周期的周期函数；2、若函数y=/(%)的定义域为/?,且f(a+x)=f(b-x)恒成立，则函数y=/(x)的图象关于直线a+b亠“x=对称；23、若函数y=/(X)的定义域为/?,且/(6Z+x)=-/(fe-x)恒成立,则函数y=/(x)的图象关于点(凹,0)对称；24、若函数y二/⑴的定义域为7?,且f(a^-x)=-f(x-b)恒成立，则函数y=f(
4、x)是以丁=细+1»为周期的周期函数；bci5、若函数y=f(x)的定义域为R,则函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图象关于直线x=—-对称；6、若函数y=/(兀)的定义域为则函数y=f(a+x)与y=—f(b—Q的图象关于点(——,0)对称.2略证:1、•・•f(x+a+b)=f[(x+b)+a]=/[(%+/?)-/?]=f(x),函数y=/*(兀)是以T=a+b为周期的周期函数.2、函数y=/(x)图象上的任一点P(x0,儿)(满足/(A0)=y0)关于肓线兀=的对称点为-心％),•・•f(a+h-xQ)=f[
5、(b-xQ)+a]=f[b-(b-xQ)]=f(xQ)=yQ.•.点Q仍在函数y=/(x)的图象上，从而函数y=f(x)的图象关于直线x=—对称.3、函数y=/(x)图象上的任一点P(A0,y0)(满足/(和=儿)关于点(¥，0)的对称点为—耳,一北)，••・f(a+b-xQ)=f(b-xQ)+a]=-f[b-(b-x0)]=-f(x0)=-y0・••点0仍在函数y=f⑴的图象上，从而函数)=/(%)的图象关于点(乎,0)对称.4、/(x+2(7+2b)=f[(x+a+2b)+a]=一/[(兀+a+2b)-b]=-f(x
6、+a+b)=-f[(x+b)+a]=-{-f[(x+b)-b]}=f(x)9/.函数y=/⑴是以T=2(a+b)为周期的周期函数.h—a5、函数y=/(a+兀)图象上的任一点P(xQ,yQ)(满足/(6z+x0)=y0)关于直线x=——的对称点为0(方-a-勺,％),・・・/[/?-(/?-a-x0)]=/(a+x0)=y0・•.点0在函数y=f(b-x)的图彖上;反Z函数y=f(b-x)的图象上任一点关于直线x=耳的对称点ha也在函数『=/(6/+x)图象上从而函数丁=fa+x)与)，=f(b-x)的图象关于直线兀=〒
7、对称.6、函数y=f(a+x)图彖上的任一点P(x0,y0)(满足/Uo)=Vo)关于点(¥，°)的对称点为Q(b_a—勺,一)b)，*•*1b一(b-6/-x0)]=-f(a+勺)=一y°b—ci.•.点0在函数y=-f(b-x)的图象上；反Z函数y=-f(b-x)的图象上任一点关于点(〒,0)的对称h—ci点也在函数y=f(a+x)图象上从而函数y=f(a+x)与y=-f(b-x)的图彖关于点(〒,0)对称.%1.关于周期性.对称性的若干易混淆的常用结论1、若函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，则函数y=/(X)
8、的图象关于y轴对称;函数y=f(x)和函数y=/(-x)的图象也关于y轴对称.2、若函数y=/(x)满足/(%)=-/(-%),则函数y=/(兀)的图象关于原点对称；函数y=/(x)和函数y=-/(-兀)的图象也关于原点对称.3、若函数y=门兀)满足f(x-d)=f(a-x),则函数y=/(兀)的图象关
