《拉格朗日方程》PPT课件.ppt

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1、动力学的基本方法牛顿定律动量定理动量矩定理动能定理达朗贝尔原理//动静法虚位移原理动力学普遍方程1动力学普遍方程拉格朗日方程写成广义坐标虚位移形式猜想：与运动有关，可否表示成动能的某种形式？是动力学普遍方程的广义坐标形式2拉格朗日（1736-1814年）法国数学家、力学家及天文学家。只有18岁的他就以纯分析的方法发展了欧拉所开创的变分法，奠定变分法之理论基础。发表大量有关变分法、概率论、微分方程、弦振动及最小作用原理等论文。写了继牛顿后又一重要经典力学著作《分析力学》(1788年)。书内以变分原理及分析的方法，把完整和谐

2、的力学体系建立起来，使力学分析化。第二节拉格朗日方程(第二类)3设：具有完整约束的非自由质点系有k个自由度系统的广义坐标为：由n个质点组成的完整、理想约束质点系，有k个自由度，则第i质点的虚位移：1、将虚位移变为广义坐标形式4虚位移：由广义坐标的独立性，2、将动力学普遍方程变为广义坐标形式动力学普遍方程：(1)代入(2)中：展开：其中：广义惯性力可否表示成动能的形式？广义惯性力5广义惯性力：3、将广义惯性力表示动能的形式(3)式对广义速度求偏导数：因：即：广义速度则：由(3)由上两式比较可得：6广义惯性力：(5、6)代入

3、(4)由：拉格朗日方程(第二类)4、得到拉格朗日方程7第二类拉格朗日方程几种形式1、当主动力均为有势力时设：L＝T-V（拉格朗日函数）2、当主动力部分为有势力时8用拉格朗日函数表示的拉格朗日方程是否只要完整约束系统就可以？拉格朗日方程的推导中，要求系统的约束是何种约束？思考题1思考题2思考题3对一个系统来说，有多少个第2类拉格朗日方程？9例：质量为m，杆长为l、弹簧刚度为k的系统如图示。杆位于水平时是系统的平衡位置。试求系统微振动的周期。kbmgABC解：取平衡位置作为零势能位置1个自由度，取q为广义坐标系统的动能：系

4、统的势能:拉格朗日函数:FkFk10代入拉格朗日方程：wn为圆频率11对于具有完整理想约束的质点系，若系统的自由度为k，则系统的动力学方程为：其中：T：为系统的动能，V：为系统的势能：为对应于广义坐标的非有势力的广义力12解：1、确定系统的自由度和广义坐标2、求系统的动能和势能3、求非有势主动力的广义力4、代入拉格朗日方程例：图示机构在铅垂面内运动，均质杆AB用光滑铰链与滑块连接。弹簧原长时杆竖直。求系统运动微分方程。AB＝2L解：取广义坐标为x、q以x＝0、q＝0处为零势能位置13拉格朗日方程为2阶k维常微分方程组令：

5、令：代入拉格朗日方程：14例:无重绳索一端悬挂质量m1物块，另一端绕质量m2，作滚动的空心圆柱，放置光滑表面。试求系统运动微分方程。x1x2qbm2gm1g解：2个自由度，取广义坐标（x1,x2）系统的动能：系统的势能：拉格朗日函数：以x1=x2=0处为零势能位置15代入拉格朗日方程：得：16例：在图示系统中，已知：圆环C质量为m，半径为R，挂在一半径为r的固定圆柱O上，圆环C与圆柱O之间无相对滑动。试以q为广义坐标，用第二类拉格朗日方程建立系统的运动微分方程。解：1、确定系统的自由度和广义坐标2、求系统的动能和势能(拉

6、格朗日函数)3、求非有势主动力的广义力17例、车厢质量为m，质心C，转动惯量，弹簧刚度如图所示。水平位置为静平衡位置，建立运动微分方程。解：系统自由度广义坐标：该系统外力均为有势力，选取零势能位置：系统动能：系统势能：拉格朗日函数：静平衡位置静平衡位置为坐标原点18求偏导数：代入拉格朗日方程：19例、半径r，质量m1的匀质圆柱体在重力作用下沿三棱体A无滑动滚下，三棱体在光滑水平面上滑动。三棱体质量m2，求三棱体加速度及圆柱质心O相对三棱体加速度。解：自由度数：广义坐标：主动力为有势力，选取零势能位置：系统动能：系统势能：

7、拉格朗日函数：S＝0位置20求偏导数：代入拉格朗日方程：解得加速度：21