离散时间随机信号概述.ppt

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1、第五章离散时间随机信号Discrete-timeStochasticSignal5.5相关序列和协方差序列的性质根据相关函数和协方差函数的定义，稍加推导就可得到它们的一些很有用的性质。我们把这些性质列举如下，以备将来参考。考虑两个实平稳随机过程{xn}和{yn}，它们的自相关序列、自协方差序列、互相关序列和互协方差序列分别是性质1：当mx=0和my=0时，Cxx(m)=Rxx(m)和Cxy(m)=Rxy(m)。证明：根据定义有Rxx(m)=E[xnxn+m]Cxx(m)=E[(xn-mx)(xn+m-mx)]=E[xnxn+m]-mxE[xn]-mx

2、E[xn+m]+m2x=Rxx(m)-m2xRxy(m)=E[xnyn+m]Cxy(m)=E[(xn-mx)(yn+m-my)=E[xnyn+m]-mxE[yn+m]-myE[xn]+mxmy=Rxy(m)-mxmy性质2：证明：根据定义有Rxx(0)=E[xnxn]=E[x2n]Cxx(0)=E[(xn-mx)(xn-mx)]=E[(xn-mx)2]=σ2x性质3：证明：根据定义有Rxx(-m)=E[xnxn-m]令n-m=n’，即n=n’+m，则上式为Rxx(-m)=E[xn'+mxn']=Rxx(m)根据性质1和上式，得到Cxx(-m)=Rxx

3、(-m)-m2x=Rxx(m)-m2x=Cxx(m)用类似的方法不难证明Rxy(m)=Ryx(-m)和Cxy(m)=Cyx(-m)。性质4：特例：证明：由于已假设{xn}和{yn}都是实随机过程，因此下列不等式成立：将左式左端展开，得到所以令xn=yn，则上式化简为其余两式可用类似的方法证明。从下式开始证明。性质5：若yn=xn-n0，则有证明：令n-n0=n'，根据定义和假设条件yn=xn-n0，有根据性质1，得到由于my=E[yn]=E[xn-n0]=mx，故上式变为利用性质5的第一个结论，即Ryy(m)=Rxx(m)，则上式成为性质6：在随机过

4、程中，两随机变量的时间间隔越大，它们的相关性越小。时间间隔趋于无穷大的两随机变量，它们之间不再相关。这一性质可用以下公式表示：根据性质1，由上列两式可以得出和性质6说明：相关序列和协方差序列都是非周期序列，而且随着m值的增加逐渐衰减，当m值很大时，序列值已趋近为零。因此，相关序列和协方差序列的Z变换或傅里叶变换通常是存在的。上面6个性质可归纳成图5.4所示的图形。记住了这个图，也就记住了这些性质。从这6个性质可以得出以下重要结论：(1)工程实际中常常要处理的信号是不可预知的具有无限能量的非周期信号，这类信号不满足绝对可和条件，甚至不满足乘以指数衰减序

5、列后绝对可和的条件，因此它们的傅里叶变换和Z变换都不存在。但是，如果将这类信号看成是一个离散随机过程的取样序列，那么，由于其自相关序列和自协方差序列都是非周期序列，而且当m趋于无穷大时，自协方差序列的值将衰减为零，在均值等于零的条件下，其自相关序列的值也将衰减为零，这说明自相关序列和自协方差序列都是有限能量序列，它们的Z变换和傅里叶变换是存在的，因而可以在频域或Z域中表示和分析这些信号。(2)自相关序列不仅反映出随机过程中不同时刻的随机变量之间相关性的大小，而且可以根据自相关序列求出随机过程的均值、均方值和方差等数字特征，正如性质6、性质2所说明的那

6、样。因此，自相关序列或自协方差序列是较全面地描述随机过程特性的重要参量。5.6功率谱1、自协方差序列和自相关序列的傅里叶变换和z变换在研究确定性信号时，人们经常用傅里叶变换或Z变换对信号进行频谱分析。现在来讨论离散随机信号的频谱分析问题。离散随机过程是它的无限多个取样序列的集合。实际中要处理的离散时间信号，仅仅是无限多个取样序列中的一个。即使对于遍历性的平稳随机过程，也只能根据它的一个取样序列，来计算出它的均值、方差、均方值、自相关序列以及协方差序列等特征量，这些特征量都是对随机过程的时域特征的描述。随机信号不仅不可能用确定信号的表示方法来描述，而且

7、它们通常都是无限时宽和无限能量的信号，因而它们的傅里叶变换和Z变换都是不存在的。即使计算它的Z变换，得到的Z变换往往都没有收敛域。即使有收敛域，这个Z变换对应的频谱与其它的取样序列的频谱通常也是不同的。但是，随机过程的自协方差序列或自相关序列却能较全面描述随机过程的特征，包括时域特征和频域特征。因为不管用哪个取样序列来计算自协方差序列或自相关序列，得到的结果总是相同的。换句话说，即使是由一个取样序列计算出来的自相关序列或自协方差序列，也能作为对随机过程的本质描述。此外，前节曾经指出，自协方差序列和在均值等于零情况下的自相关序列都是有限能量序列，它们的

8、傅里叶变换和Z变换总是存在的。因此，在对离散随机过程进行频谱分析时，要用自协方差序列或自相关序列取代随机过程