[工学]第五章 离散时间随机信号

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1、第五章离散时间随机信号(Discrete-TimeRandomSignal)主要内容：5.1引言5.2随机变量的描述5.3离散随机过程5.4时间平均5.5相关序列和协方差序列的性质5.6功率谱5.7离散随机信号通过线性非移变系统5.1引言(Introduction)离散随机信号可分成两大类：离散时间确定信号和离散时间随机信号5.2随机变量的描述(TheDistriptionofRandomVariables)5.2.1概率分布函数单个随机变量X的概率分布函数定义为：它的取值不超过某个特定值的概率，即：的概率如果x是连续随机变量，x的概率密度函数定义为：或如

2、果x是离散随机变量，x的概率质量函数定义为：的概率概率质量函数与概率分布函数的关系为：5.2.2均值随机变量x的均值(数学期望)定义为：或式中，是x的离散值域，是概率质量函数。表示随机变量x的统计平均或集合平均，简称均值。5.2.3均值的性质5.2.4方差随机变量x的方差定义为：其中称为随机变量x的均方值。或5.3离散随机过程(TheDiscreteRandomProcess)5.3.1离散随机过程由无限多个随机变量构成的一个时间序列5.3.2联合概率分布函数中如果和是离散随机变　的联合质量布函数定义为：如果一个随机过程在不同时刻的随机变量互不影响，则称诸

3、随机变量是统计独立的。此时有：设　和　是离散随机过程在两个不同时刻n和m上的随机变量，定义联合概率分布函数如下：5.3.3随机过程的数字特征(均值、方差和均方值)对于狭义平稳随机过程，其数字特征与时间n无关，即对于所有的n，有：以上公式均是与时间无关的常量。5.3.4自相关序列式中，星号*表示复共轭。5.3.5互相关序列随机过程和式中是和的联合概率密度函数。随机过程的自相关序列定义为：的互相关序列定义为：5.3.6自协方差序列5.3.7互协方差序列随机过程和的互协方差序列定义为：随机过程的自协方差序列定义为5.3.8狭义平稳随机过程两随机变量的联合概率密度

4、函数只与它们的时间时间差有关，而与时间起点无关，自相关序列、自协方差序列以及互相关序列和互协方差序列只是时间差的函数而与时间起点无关。5.3.9广义平稳随机过程概率分布函数或概率密度函数是随时间变化的，联合概率密度函数也与时间起点有关，其均值是常数(与时间无关)，自相关序列只与时间差有关而与时间起点无关。简称为平稳随机过程或平稳过程。5.4时间平均(Time-mean)5.4.1遍历性随机过程一个平稳随机过程，它的一个取样序列的时间平均等于它的集合平均。5.4.2随机过程的时间平均随机过程　的一个取样序列的所有取样值的算术平均值。用表示，即：随机过程的时间

5、取样自相关序列为：对于遍历性随机过程，有：5.5相关序列和协方差序列的性质(ThePropertiesofCorrelationSequenceandCovarianceSequence)设{xn}和{yn}是两个实平稳随机过程，它们的自相关序列、自协方差序列、互相关序列、互协方差序列为：性质1：时：当和证明：性质2：证明：∵∴性质3：证明：性质4：特列：证明：因为和都是实随机过程，所以下列不等式成立：将上式左端展开，得：所以：令，上式可以简化成：性质5：若则有：证明：性质6：在随机过程中，两随机过程的时间间隔越大，它们的相关性越小。自相关序列、自协方差序

6、列与均值、均方值、方差的关系：,其中角频率是例5.5.1:已知随机信号常数，初相是在区间均匀分布的随机变量，求的均值和自相关序列，并判断是否广义平稳随解：的均值为：其中：机过程。的自相关序列为：随机信号的均值为常数，自相关序列只与时间差有关，所以为广义平稳随机过程。5.6功率谱(PowerSpectrum)5.6.1平稳随机过程的功率谱协方差序列的Z变换称为平稳随机过程的功率谱。即：对于零均值随机信号{xn}，则有：对于一个实平稳随机过程，的Fourier变换总是存在的，即：上式的逆变换为：和由上式可得到：即：功率谱在一个周期内的平均值就是随机过程的平均功

7、率。5.6.2功率谱的性质1.实平稳随机过程的功率谱是非负的，即：2.实平稳随机过程的功率谱是实函数，即：式中，*号表示复共轭。证明：3.实平稳随机过程的功率谱是的偶函数，即：证明：5.6.3平稳随机过程的互功率谱两个平稳随机过程和的互功率谱定义为：或者由以上可得出：例5.6.1相位为平稳随机的正弦序列仍然是一个平稳式中，A是正弦序列的增幅，是正弦序列的角频率。求该正弦序列的功率谱。解：该正弦序列的功率谱为：2A随机过程，它的自相关序列为：，

8、m

9、例5.6.2设平稳随机的自相关序列为：，R(m)=a,

10、a

11、<1xx求该随机过程的功率谱。解：随机过程的功率谱

12、为：+∞+∞j−jm

13、m

14、−jmS(e)=R(m)e=aexx∑x