定义1设是一个非空集合,为实数域.如果对于任意两个元.ppt

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1、定义１设是一个非空集合，为实数域．如果对于任意两个元素　，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的和，记作第六章线性空间与线性变换一、线性空间的定义第一节线性空间的定义与性质如果上述的两种运算满足以下八条运算规律，那么就称为数域上的向量空间（或线性空间）．若对于任一数与任一元素，总有唯一的一个元素与之对应，称为与的积，记作通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运算满足线性运算规律．4线性代数第七章线性空间与线性变换例3正弦函数的集合对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间．是一个线性空间.对于通常有序数组的加法及如下定义的乘法例4n个有序实数组成的数组的全

2、体一般地说，同一个集合，若定义两种不同的线性运算，就可能构成不同的向量空间。所以，所定义的线性运算是向量空间的本质，而其中的元素是什么并不重要。因此向量空间叫做线性空间更为恰当。例5正实数的全体，记作，在其中定义加法及乘数运算为验证对上述加法与乘数运算构成线性空间．证明所以对定义的加法与乘数运算封闭．下面一一验证八条线性运算规律：所以对所定义的运算构成线性空间．1．零元素是唯一的．证明假设是线性空间V中的两个零元素，由于所以则对任何，有二、线性空间的性质2．负元素是唯一的．证明假设有两个负元素与，那么则有向量的负元素记为证明4．如果，则或.证明假设那么又同理

3、可证：若则有一、线性空间的基与维数定义１在线性空间中，如果存在个元素满足：第二节维数、基与坐标二、元素在给定基下的坐标定义２注意线性空间的任一元素在不同的基下所对的坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是唯一的．三、线性空间的同构象这样元素之间有一一对应关系，且这个对应关系保持线性组合（即1，2）运算的两个线性空间V与U，称它们同构。显然，任何n维线性空都与同构。因而研究一般n维线性空间的结构，只要研究即可。一、基变换公式与过渡矩阵称此公式为基变换公式．第三节基变换与坐标变换由于(1)过渡矩阵是可逆的．矩阵称为由基到基的过渡矩阵．（2）这就是基变换公式二

4、、坐标变换公式若两个基满足关系式则有坐标变换公式或（3）证明一、线性变换的概念１．映射第四节线性变换映射的概念是函数概念的推广．2．从线性空间到的线性变换二、线性变换的性质证明：一、线性变换的矩阵表示式第五节线性变换的矩阵表示式二、线性变换在给定基下的矩阵定义6设是线性空间中的线性变换，在中取定一个基，如果这个基在变换下的象为其中上式可表示为那末，就称为线性变换在基下的矩阵．此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般有不同的矩阵．三、线性变换在不同基下的矩阵定理2设线性空间中取定两个基由基到基的过渡矩阵为，中的线性变换在这两个基下的矩阵依次为和，那末于是证明因

5、为线性无关，所以证毕.定理表明：与相似，且两个基之间的过渡矩阵就是相似变换矩阵．