测验2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元.ppt

《测验2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在PPT专区-天天文库。

1、测验：2.设是群G上的等价关系,并且对于G的任意三个元素a,x,x‘，若axax’则必有xx‘。证明：与G中单位元等价的元素全体构成G的一个子群。H={x

2、xG,并且xe}对任意的xH，xe,xee=xx-1对任意的x,yH，xe,ye,eye,x-1xyx-1x§4群的同态与同态基本定理一、群同态设有两个代数系统[S;*]与[T;],如果存在到上映射:ST,使得对任意的a,bS,有:(a*b)=(a)(b)，称[S;*]与[T;]两个系统同态。如果是双射,则[S;*]与[T;]同构。例14.21(Cayley(

3、凯莱)定理)：任一有限群必同构于一个同阶的置换群。证明:设[G;]为有限群.若[G;]是置换群,则[G;]与自己当然同构.下面考虑[G;]不是置换群,那么就应构造与[G;]有一定联系的置换群,使得它们同构.对任意gG,定义映射g:GG,使得对任意g'G,有g(g')=gg'。设={g

4、gG}则由例14.13知[;]是置换群。下面证明G与[;]同构构造G的同构映射:(g)=g二、群同态基本定理1.同态核与同态象在群G中，a,bG,若ab=a，则b=e(单位元)ab=a=ae，由消去律可得b=e。引理：[G;*]和[G

5、‘;]为群,为GG’的同态映射(不一定满射),设e是[G;*]的单位元,则(e)一定是[G';]的单位元.证明:因为(G),设x(G)G',存在aG,使得x=(a)因为x(e)=x=xeG',利用群满足消去律即得(e)=eG'.该结论对不是群的代数系统不一定成立.定义14.18:为群GG'的同态映射,e,e'分别为G,G'之单位元。集合K={xG

6、(x)=e'},称K为同态映射的核,又称同态核,记为Ker,简记为K()。K,这是因为(e)=e',即eK.例:[R-{0};*]和[{-1,1};*]为群定理

7、：为群[G;*][G';]的同态映射,则(1)[Ker;*]为[G;*]的正规子群。(2)为一对一当且仅当K={eG}(3)[(G);]为[G';]的子群。证明:(1)先证明Ker是子群封闭:对任意a,bKer,有a*b?Ker,即证(a*b)=?eG'逆元:对任意aKer,它在G中的逆元,a-1?Ker然后证明对任意gG,aKer有g-1*a*g?Ker2.群同态基本定理定理14.19：群[G;*]同态于它的任一商群[G/H;]。证明:构造映射f:GG/H,f(g)=Hg然后证明f是满同态映射.自然同态定理1

8、4.20：设为群[G;*]到群[G';]的同态映射,K为同态核,(G)G'为G在下的象集,则:[G/K;][(G);]证明：对任意的KaG/K，定义f(Ka)=(a)(1)f是G/K(G)的映射。关键是对于Ka=Kb,是否有(a)=(b)(2)f是同态映射。对任意的Ka,KbG/K,是否有f(KaKb)=f(Ka)f(Kb)(3)f是一一对应映射。一对一:即证若有f(Ka)=f(Kb),必有Ka=Kb.就是要证明a*b-1K,也就是(a*b-1)=eG'满射:推论：若为群[G;*]到群[G';]的满同态映射,则:[G

9、/K;][G';]例:[R;+]是实数加法群,[Z;+]是整数加法群,并且是[R;+]的正规子群。W={ei

10、R},*为普通乘法群，则[R/Z;][W;*]。分析:应先构造RW的满同态映射然后证明Ker=Z定义(x)=e2ixKer={x

11、(x)=1}=Z作业:P29540,41(1),(3),(5)补充1.为群[G;*][G';]的同态映射,则[(G);]为[G';]的子群。2.设是群G到G'的同态映射,证明:(1)若H是G的子群,则(H)也是G'的子群.(2)若H是G的正规子群,且是满同态映射,则(H)也是

12、G'的正规子群.