用函数最值的定义和性质简解考题.pdf

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1、用函数最值的定义和性质简解考题■邹生书数学概念是反映现实世界的空间形式和数量关系的本质2sina=一45，所以是，()的最小值点也是极小值点，所以属性的思维形式，是对一类数学对象的本质属性的反映．本文，()=2cosa—sina=0，所以tana=2，故选(B)．以用函数最值的定义和性质简解高考题为例，说明数学概念在例3已知定义在R上的函数，()=asintox+bcosoJx(to解题中的重要作用．>0)的周期为，且对一切eR，都有，()≤，()=4，求一、函数最值的定义和性质人教A版数学必修1给出了函数最大值的概

2、念如下：函数，()的表达式．一般地，设函数Y=f()的定义域为，，如果存在实数满解：由=绝=1T得=2，]ifl)．~f()=asin2x+bcos2x．t￡，足：(1)对任意的∈，，都有，()≤；(2)存在‰∈，，使得f(‰)=那么，称是函数的最大值．又因为对一切R，都有，()≤，(舌)，所以舌是，()的由定义，我们不难知道：若函数Y：f()的定义域为，，对最大值点也是极大值点．又-厂()=2acos2x一2bsin2x，所以于任意的∈，，存在。，，使得f()≤f(‰)，则函数Y=f()在‰处取得最大值；反之，函数

3、Y=f()，E，，在。处取，()=o，所以6=．且由，()=4得÷。+譬6=4得最大值，则有f()≤f(‰)对任意的∈J恒成立．②．解①②得8=2，b；z／Y，所以，()=2sin2x+2~~-cos2x．同理，我们可以给出函数最小值的定义，特别地，关于连续例4(2011年高考安徽卷理科第9题)已知函数，()=可导函数的最值有如下性质：性质1：设函数Y=f()是定义域为区间(a，b)的连续可sin(2+)，其中为实数，若，()≤I，(詈)I对∈R恒成导函数，若‰∈(a，b)是函数Y=f()的最大(小)值点，则厂()=

4、0．立，且，(詈)>，()，则，()的单调递增区间是()性质2：设函数Y：f()是定义域为区间(a，b)的连续可(A)[竹一号，+詈](ez)导函数，若‰∈(a，b)是函数Y=f()的极大(小)值点，且函数Y=f()在区间(a，b)只有一个极值点，则。是函数Y=(B)[，+詈](

5、j}ez)，()的最大(小)值点．性质3：设函数Y=f()是定义域为区间(a，b)上的凸(c)[竹+詈，](

6、i}z)(凹)函数，若‰∈(a，b)且满足，(‰)=0，则。是函数Y=，()的极大(小)值点，也是最大(小)值点．(D)[竹一号，

7、竹](

8、i}ez)二、用函数最值的定义和性质简解高考题例1(2013年高考新课标I卷理科第15题)设当=0解：~％t3f()≤I，(詈)I对R恒成立，所以詈是时，函数，()=sinx一2cosx取得最大值，则cos0=一／()的最大值点也是极大值点．又，()=2cos(2x+)，所以解：因为当=0时，函数，()=sinx一2cosx取得最大值，，(詈)=2c。s(子+)=0，所以詈+=詈+k~r(kez)，所以=0是f()的最大值点也是极大值点，所以／(0)=0，而．厂()：COSX+2sinx，解得=詈+k,tr(

9、kz)，所以，()=sin(Ji}+2+詈)．所以cosO+2sin0=0．①又，(0)=f()，当为偶数时()=sin(2+詈)，~lJf(2)：一1，不所以sin8—2cos0=．②满足，(号)>，(盯)；^,if-解①②得cosO=一z#a．．)当k为奇数时，设k=(2n+1)叮『，n∈Z()=一sin(2x例2(2008年浙江高考理科第8题)若cosa+2sina=+詈)，~lJf(T一)=1(竹)=一号满足，(詈)>／(盯)．所一，则tan=()(A)1(B)2(c)1(D)一一21)2f()=一sin(2

10、+詈)．而，()的单调递增区间就是=解：设／()=cos+2sinx，因为，()min=一，而cos+sin(2,IT)的单调递减区间．-@2k~r十号≤2+詈≤2竹+．豫

11、11．％

12、

13、R4璐函数f()=n一3．若函数g(x)=f()+，()，∈[0，(∈z)，解得叮T+詈≤≤

14、i}叮r(∈z)，故应选(c)·2]，在=0处取得最大值，求。的取值范围．例5(见2013年高考山东文科第21题)已知函数／()解：由题设，g()=8一3x+3ax一6x=0(+3)一=n+—lnx(n，b∈R)．设0>0，且对于任意>0()

15、3x(x+2)．当g(x)在区间[0，2]上的最大值为g(O)时，g(O)≥≥f(1)．试比较lna与一26的大小．g(2)，即0≥20a一24，故得D≤詈．解：当o>0时，对于任意>0()≥，(1)，此即表明=1是函数f()的最小值点也是极小值点，所以f(1)=0，而反之，当。≤6时，对任意∈[0，2]，g()≤(+()=2ax+b一÷，于是