用整体法解决数学问题.pdf

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1、2014年第9期·解题秘笈·谤数外类型：(1+0)特征：在式子(1+)的括号内，其中一部分为1，另一部分为用整体法解决数学问题②(包括其前面的符号一起)与指数的关系是互为倒数即它们的乘积为1即“两个1”结论：为e广西省柳州市融水县民族高级中学宋宇逸故两个重要极限公式可推广为：(1)lim=1——+lim=1)——I，Lllim(1+—=e(2)1im(1+)e—～，一Ilim【1)：e整体法是将问题或某些条件看成一个整体来处理，是一种重要的解题方法，其思维方式注重从全局着眼、全面说明：这里的“什么”是指整体f(x

2、)≠0地、整体的观察、分析和思考问题，重视问题的整体结构的五、整体消元特殊性。笔者在教学实践中，深感整体思想在解题中占有fx+y=21①一定比重，若运用得当，可使学生少走或不走弯路。下面谈例：已知AABC各边的长恰是方程组{y+2=24②的解，【z=27③谈自己的几点体会，与大家共同探讨。一求AABC各边的长。、整体代入分析：此方程组不论是用代人消元法还是用加减消元例：已知+=11，求X3+的值。法都要作两次才能消去一个未知数，现我们把三个方程从整体考虑，三个等式左右分别相加，左边的三个未知数系分析：此类型可从已

3、知方程求出，再代入所求式子，显数相等，右边是一个常数，新方程分别减去原方程即可整然按此法相当繁琐。但如果把已知方程看成一个整体，两体消元，从而实现“一步登天”。边立方后变形，再将整体代入求值，这样就简单易行，更有由①+②+③，整理得x+y+z=36⋯⋯④，将④分别减去特色。由+=l1，有(+上)。=11，即++3(+)=①、②、③得x=12，y=9，z=15，即此三角形各边的长分别为9、12、15。l33l，3+1=1331—3×11=1298。六、整体求导在学习复合函数的导数后，有些学生往往有这样的解二、整体换

4、元法出现：例：若x,y满足x--y=3，解方程()，，(1)一1=0求：①，，=e；②ln(+3)；③=sin(2x+1)的导数。分析：此方程比较复杂，若用x=3+y代人消元求解，这解：①'，=(e)=e显然更复杂了，但由于方程左边第一项和第三项组合在一起时，具有第二项的因式(+y一1)的特点，于是可选择(+②y=卟(2+3)1(x2+3)：六一2x等y-1)为整体，来实现整体换元。(=3cos(x2+1)‘(2x+1)=6cos(2x+1)方程变为(一1)[()z+(+y)+1]+，，(1一y)=O，其实这三道

5、题的解法均有错，原因是没有很好地利用即t[(+，，)2+(+y)+1—2xy]=O(这里令=(+，一1))，整体思想求导。我们知道这三道题均属于复合函数。如上即(+1)(2+慨+什1)=0，于是有：题①、②中应把3，(z+3)当作整体——中间变量，③应先f一1=Ofx+1=O把sin(2x+1)当作整体——中间变量即由y=u，u=sinv，V-tx-y=3’tx-y=3’2x+l复合而成。这样在求导时利用法则即等于复合函数对中间变量的导数乘上中间变量对自变量的导数。它是一由①得{y=，，而②无实数解，一l个层层分

6、解，层层求导的过程，即可理解为由外到内，分层求导(直至对自变量求导为止)，连续相乘。这正好象平常所以原方程的解为{一，人“脱衣”一般法，根据这一特性，我们可直观的理解为：复三、凑合整体合函数求导时，应把整体读作“什么”，然后利用基本初等例：已知f(x+1)=X2求f(x)。函数导数公式直接求导，但这时切不要忘记“什么”还必须解：’．f(x+1)=【(+1)一1】．’．f(x)=(一1)求导下去即“没完”——还要求导，直至对自变量求导为止。如：上例正确解法为：说明：此题可以用换元法，但这里把(+1)看作整体①=(e

7、)=e(3x)(“没完”)了。只要将已知等式右边凑合含式子(卅1)的整体形式，则解题更为直观。=3e3x②y=[1n(2+3)]=丽1·(2+3)(“没完’)四、整体改造在讲授两个重要极限：①lim=1②lim(1+)=一——’。—2—+———3——xe，并通过一定量练习后，我们应分析其类型、特征和结论，③=3sin(+1)·[sin(2x+1)](“没完”)并归纳为：=3sin(2x+1)·COS(2x+1)·(2x+1)(“没完”)l类型：型=6sin(2x+1)·cos(2x+1)·利用整体求解法的关键是全

8、面地，整体的观察，结合l特征：“什么”的正弦比“什么”整体结构的特性，找出简洁的解法。从而达到以最少的“投【结论：为1入”获得最大的“产出”。基金项目：本文系“来宾市教育科学“十二五”规划A类课题”的研究成果之一(项目编号：LBJK2012A019)。