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时间:2020-03-09
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1、2013年上海市高考数学试卷(理科) 一、填空题(本大题共有14题,满分56分)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得零分.1.(4分)计算:= .2.(4分)设m∈R,m2+m﹣2+(m2﹣1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m= .3.(4分)若=,x+y= .4.(4分)已知△ABC的内角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若3a2+2ab+3b2﹣3c2=0,则角C的大小是 .5.(4分)设常数a∈R,若(x2+)5的二项展开式中x7项的系数为﹣10,则a= .6.(4分)方程+=3x﹣1的实数解为 .7.(4分
2、)在极坐标系中,曲线ρ=cosθ+1与ρcosθ=1的公共点到极点的距离为 .8.(4分)盒子中装有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶数的概率是 (结果用最简分数表示).9.(4分)设AB是椭圆Γ的长轴,点C在Γ上,且∠CBA=,若AB=4,BC=,则Γ的两个焦点之间的距离为 .10.(4分)设非零常数d是等差数列x1,x2,…,x19的公差,随机变量ξ等可能地取值x1,x2,…,x19,则方差Dξ= .11.(4分)若cosxcosy+sinxsiny=,sin2x+sin2y=,则sin(x+y)=
3、 .12.(4分)设a为实常数,y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x<0时,f(x)=9x++7.若f(x)≥a+1对一切x≥0成立,则a的取值范围为 .第23页(共23页)13.(4分)在xOy平面上,将两个半圆弧(x﹣1)2+y2=1(x≥1)和(x﹣3)2+y2=1(x≥3),两条直线y=1和y=﹣1围成的封闭图形记为D,如图中阴影部分,记D绕y轴旋转一周而成的几何体为Ω.过(0,y)(
4、y
5、≤1)作Ω的水平截面,所得截面积为4π+8π.试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体,得出Ω的体积值为 .14.(4分)对区间I上有定义的函数g(x),记g(I
6、)={y
7、y=g(x),x∈I}.已知定义域为[0,3]的函数y=f(x)有反函数y=f﹣1(x),且f﹣1([0,1))=[1,2),f﹣1((2,4])=[0,1).若方程f(x)﹣x=0有解x0,则x0= . 二、选择题(本大题共有4题,满分20分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律得零分.15.(5分)设常数a∈R,集合A={x
8、(x﹣1)(x﹣a)≥0},B={x
9、x≥a﹣1},若A∪B=R,则a的取值范围为( )A.(﹣∞,2)B.(﹣∞,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)16.(5分)
10、钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的( )A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既非充分又非必要条件17.(5分)在数列(an)中,an=2n﹣1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素cij=ai•aj+ai+aj(i=1,2,…,7;j=1,2,…,12),则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )A.18B.28C.48D.63第23页(共23页)18.(5分)在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为、、、、.若m、M分别为(++)•(
11、++)的最小值、最大值,其中{i,j,k}⊆{1,2,3,4,5},{r,s,t}⊆{1,2,3,4,5},则m、M满足( )A.m=0,M>0B.m<0,M>0C.m<0,M=0D.m<0,M<0 三、解答题(本大题共有5题,满分74分)解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(12分)如图,在长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2,AD=1,AA′=1.证明直线BC′平行于平面D′AC,并求直线BC′到平面D′AC的距离.20.(14分)甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10),每小时可获得的利润是10
12、0(5x+1﹣)元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元,求x的取值范围;(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.21.(14分)已知函数f(x)=2sin(ωx),其中常数ω>0.(1)若y=f(x)在[﹣,]上单调递增,求ω的取值范围;(2)令ω=2,将函数y=f(x)的图象向左平移个单位,再向上平移1个单位,得到函数y=g(x)的图象,区间[a,b](a,b∈R,且a<b)满足:y=g(x)在[a,b]上至少含有30个零点.在所有满足上述条件的[a,b]中,求b﹣a的最小值.2
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