2018-2019学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题（解析版）.doc

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2018-2019学年上海市金山中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．已知全集U=R,集合和关系的韦恩()图如图所示,则阴影部分所示的集合的元素共有（）A．1个B．2个C．3个D．无穷多个【答案】A【解析】根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为，求出集合与中的元素，分析可得选项.【详解】根据题意，可得阴影部分所示的集合为，的元素为正奇数，而在内的正奇数有所以集合共有个元素.故选：A【点睛】本题考查集合的图表表示法，注意由韦恩图表分析集合间的关系，阴影部分所表示的集合.2．已知,那么下列命题正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】B【解析】根据不等式的性质，对A、B、C、D四个选项通过举反例进行一一验证，即可判断出选项.【详解】对于A，当时，不成立，故A错误；对于B，若，则或，所以，故B正确；第14页共14页 对于C，若，则当时，不成立，故C错误；对于D，当时，，故D错误；故选：B【点睛】本题主要考查不等式的性质，属于基础题.3．已知，则“”是“函数的图象恒在轴上方”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件【答案】D【解析】分别研究由“”推出“函数的图象恒在轴上方”和由“函数的图象恒在轴上方”推出“”，得到答案.【详解】当时，函数图象与轴没有交点，当时，图像恒在轴下方，所以是不充分条件；当函数的图象恒在轴上方，取，满足要求，此时，因此不一定能得到，所以是不必要条件；故选D项.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判断，二次函数的图像问题，属于简单题.4．若直角坐标平面内不同的两点P、Q满足条件:①P、Q都在函数的图像上；②P、Q关于原点对称,则称点是函数的一对“友好点对”(注:点对与看作同一对“友好点对”).若函数,则此函数的“友好点对”的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个第14页共14页 【答案】C【解析】当时，，代入解析式，即可得到关于原点对称的函数，作出函数图像，根据给出的新定义，并结合图像即可得到图像交点的个数，即“友好点对”的个数.【详解】当时，则，，则函数的图像关于原点对称的图像所对应的函数是作出函数与的图像（如下图）由图像的交点个数即可得“友好点对”的对数，观察图像可得交点个数是，故函数的“友好点对”有对.故选：C【点睛】本题主要考查对新定义的理解，考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握二次函数与对数函数的图像与性质.二、填空题5．设全集U=R,集合则________.【答案】【解析】由集合的补集运算即可求解.第14页共14页 【详解】全集U=R，.故答案为：.【点睛】本题主要考查集合的补集运算，属于基础题.6．不等式的解集是　　　　　　　　　　.【答案】【解析】由.7．函数的定义域为________.【答案】或【解析】根据式子有意义可得，解分式不等式即可.【详解】由题意可得，即，解得或所以函数的定义域为或.故答案为：或.【点睛】本题主要考查函数的定义域，考查了分式不等式的解法，属于基础题.8．“若则”的一个等价命题是:“若则___________”.【答案】不都大于零【解析】根据原命题与逆否命题为等价关系，写出命题的逆否命题即可.【详解】“若则”的逆否命题为：“若则不都大于零”故答案为：不都大于零【点睛】第14页共14页 本题考查四种命题中原命题与逆否命题的关系，属于基础题.9．不等式的解集是_________.【答案】【解析】由分式不等式解法即可求解.【详解】由，可得解得，所以不等式的解集为故答案为：【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，属于基础题10．函数的图像关于直线对称的充要条件是；【答案】m=-2【解析】由于二次函数的对称轴方程为,所以函数的图像关于直线对称的充要条件.11．设α：；β:，，若α是β的充分不必要条件，则m的取值范围是________【答案】【解析】α是β的充分不必要条件可知Ü，即可求解.【详解】因为α：；β:，，α是β的充分不必要条件所以Ü，即，解得.第14页共14页 故答案为：【点睛】本题主要考查了充分不必要条件，真子集的概念，属于中档题.12．函数的最小值为2，则正数的值是________.【答案】【解析】利用基本不等式即可求解.【详解】由，，则，即当且仅当，即时取等号.故答案为：【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，在利用基本不等式求最值时需验证“”成立的条件.13．给出下列4个命题:①-2不是偶数；②不等式不成立；③可以是函数的解析式；④函数的定义域为R.其中,所有假命题的代号是___________.【答案】①②③④【解析】根据偶数的定义可判断①；根据不等式可判断②；根据函数的概念可判断③；根据幂函数的定义域可判断④.【详解】对于①，能被整除，故是偶数，故①为假命题；对于②，成立，故②为假命题；对于③，函数的定义域为空集，由函数的三要素可知不能是函数的解析式，故③为假命题；对于④，函数在无意义，故④为假命题；故答案为：①②③④【点睛】本题主要考查命题真假的判断，考查了数学中的基本知识与基本概念，属于基础题.第14页共14页 14．设函数，观察：，，，，……根据以上事实，由归纳推理可得：当且时，=________.【答案】【解析】利用所给函数式，归纳出函数式分母多项式的规律，结合分子都是1，从而可得结果.【详解】观察知:四个等式等号右边的分母为,即,所以归纳出分母为的分母为,故当且时，..【点睛】本题主要可得函数的解析式以及归纳推理的应用，属于中档题.归纳推理的一般步骤:一、通过观察个别情况发现某些相同的性质.二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）.15．当时,不等式恒成立,则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可得：当时,不等式恒成立，转化为从而可得或，求的最小值以及的最大值即可.【详解】当时,不等式恒成立，即恒成立，解不等式可得或第14页共14页 所以或，即或设，由，则，当且仅当时，取等号，即；设，函数在上单调递增，故无最大值，故，此时无值，综上所述：故答案为：【点睛】本题主要考查带有绝对值的不等式，基本不等式的应用，不等式恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题.16．若规定的子集为E的第个子集,其中则E的第个子集是____________.【答案】【解析】根据题意，分别讨论的取值，通过讨论计算的可能取值，即可得出答案.【详解】，而，的第个子集包含，此时，，，的第个子集包含，此时，，，的第个子集包含，此时，第14页共14页 ，，的第个子集包含，此时，的第个子集包含，的第个子集是.故答案为：【点睛】本题主要考查了与集合有关的信息题，理解条件的定义是解决本题的关键.三、解答题17．已知集合若求实数的值.【答案】；【解析】先将A化简，再由已知，求出B，利用韦达定理求出实数的值.【详解】由得，，又由得，即的两根为，，由韦达定理得，解得；即；【点睛】本题考查集合的基本运算，一元二次不等式的解法，属于基础题.第14页共14页 18．有一批材料,可以建成长为240米的围墙.如图,如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地,中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形,怎样围法才可取得最大的面积?并求此面积.【答案】当面积相等的小矩形的长为时，矩形面积最大，【解析】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，代入矩形的面积公式，根据基本不等式即可求得矩形面积的最大值.【详解】设每个小矩形的长为，宽为，依题意可知，，当且仅当取等号，所以时，.【点睛】本题主要考查函数最值的应用，考查了学生分析问题和解决问题的能力.19．(1)已知且求的最大值并求此时的值；(2)已知且求的最小值并求此时的值.【答案】（1）当，时，取得最大值；（2）当，时，取最小值；【解析】（1）利用基本不等式等号成立的条件即可求解.（2）将“乘”，利用基本不等式等号成立的条件即可求解.【详解】第14页共14页 （1）由且所以，即，当且仅当时，取等号成立，所以当，时，取得最大值.（2）由所以当且仅当时，即，时，取等号成立，所以当，时，取最小值.【点睛】本题主要考查基本不等式的性质和应用，解题时要认真审题，注意公式的灵活运用.20．若函数的定义域（或）上的值域也为（或）,我们称函数是（或）上的保值函数.如是上的保值函数.(1)判断函数是上的保值函数?并说明理由；(2)设二次函数是上的保值函数,求正数的值；(3)函数是上的保值函数,求实数的值.【答案】（1）不是，理由见解析；（2）；（3）或【解析】（1）求出函数在上值域，由题中定义即可判断.（2）由题中定义，二次函数表达式以及为正数，可知函数在为增函数，即，解方程即可.（3）讨论的取值，根据保值函数的定义即可求解.【详解】第14页共14页 （1）函数在上值域为，由定义可知不是上的“保值函数”.（2）二次函数的对称轴为，开口向上，所以函数在上为单调递增，又为正数，即函数在上为增函数，若二次函数是上的保值函数，则，即，解方程可得故.（3）当时，函数在为单调递增函数，若函数是上的保值函数,则，解得.当时，函数在为单调递减函数，若函数是上的保值函数,则，解得，故满足条件的实数的值有或.【点睛】本题一道新定义的题目，考查了函数的定义域、值域以及函数的单调性，解题的关键是理解题干中的定义，属于中档题.21．(1)若不等式无解,求实数的取值范围；(2)若关于的不等式的解集中只有2个整数解，求实数的取值范围；(3)把(2)中的只有“2个整数解”推广到一般情况,并求实数的取值范围.第14页共14页 【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）讨论的取值，分三种情况①；②；③，由二次函数的图像与性质即可求解.（2）根据题意分析可知，原不等式转化为，得到的解集，由解集中的整数恰有个，且为，得到的不等式，解不等式可得的范围.（3）由（2）当恰有个整数，得到关于的不等式，解不等式即可.【详解】（1）当时，显然无解；当时，，此时不等式也无解；当时，由，则，即，若不等式无解，则，此时无解；综上所述.（2）由题知，，则即为，即，由于，而不等式的解集中恰有个整数解，故必有，即必有，所以不等式可变为解得又，结合解集中恰有个整数解，即为可得，解得，第14页共14页 所以实数的取值范围为.（3）将（2）中的只有“2个整数解”推广到一般情况,由（2）可得，解不等式可得即所以实数的取值范围为.【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，考查分类讨论的思想，属于中档题.第14页共14页