解析几何的一道改编题.doc

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1、解析几何的一道改编题惠州市东江高级中学：郑春灵原题：（选修2-1人教A版第81页，B组第7题）过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于A,B两点，以AB为直径画圆，借助信息技术工具观察它与抛物线准线的关系，你能得到什么结论？相应于椭圆、双曲线如何？你能证明你的结论吗？ABFCA1C1B1Oyx解：如图所示：设弦AB的中点为点C，过A，B，C三点分别作准线L的垂线，垂足分别为点。由图易知：又∵∴即以AB为直径的圆的半径等于点C到准线L的距离∴以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线相切。同理可得：相应于椭圆和双曲线而言，以焦点弦AB为直径的圆与椭圆相应准线相离，与双

2、曲线相应准线相交。评析：本题主要考查了圆锥曲线定义的应用及数形结合、化归转化的数学思想。对学生的运算能力要求不高，突出考查了学生的思维能力和对定义的运用能力。ABFxyOA1MB1CD改编题：如图所示：已知过抛物线的焦点F的直线与抛物线相交于A，B两点。（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切；（2）设抛物线在A，B两点处的切线的交点O1为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程；O2（3）设过抛物线焦点F的直线与椭圆的交点为C、D，是否存在直线使得

3、AF

4、·

5、CF

6、=

7、BF

8、·

9、DF

10、，若存在，求出直线的方程，若不存在请说明理由。3考查目标：本题第

11、(1)、(2)问紧扣原题，考查了圆锥曲线的定义及相应结论的应用，同时第(1)问还考查了数形结合及化归转化的数学思想，第(2)问还考查了导数在解析几何中的简单应用和学生的探究能力，第(3)问综合考查了椭圆与抛物线的综合应用，同时考查了向量在解析几何中的应用及化归转化思想与运算能力和探究能力。本题综合考查了多种数学思想、多种解题方法、多种圆锥曲线，无论是从数学思想还是从解题方法上对学生能力的培养很有帮助，本题从难度上讲属中等偏难题。解答过程：（1）解法一（几何法）设线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为,则2分又∵3分∴∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。4分

12、解法二（代数法）设,线段AF中点为，过作垂直于x轴，垂足为则∴2分又∵点为线段AF的中点，∴3分∴∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。4分（2）设直线AB的方程为，由∴5分由6分，故3设线段AB中点为点P，易证⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M7分8分又9分（3）设10分则，设，则11分将代入可得：①12分由联立可得　　②13分联立①②可得，解得。14分本题特点：本题是以课本练习题为蓝本，进行深入的加工，从难度上讲比原题要难，属中等偏难题。本题从数学方法上讲考查了：定义法,图像法，导数在解析几何中的简单应用；从数学能力上讲考查了学生的运算能力，逻辑思维能力

13、和探究能力；从数学思想上讲考查了数形结合思想，化归转化思想；从考查的知识点上讲综合考查了直线和三种圆锥曲线---圆、椭圆、抛物线，同时综合考查了导数及向量在解析几何中的应用。3