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1、二次函数基础知识盘点二次函数y=加+c(c&o)是屮考必考的内容，填空题、选择题常考杳其基础知识，解答题一般与其他知识组合形成综合题，并常作为压轴题，以考杳学生分析问题和解决问题的能力，因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。一、二次函数的系数与抛物线的特征1.a的符号确定抛物线的开口，a>0时开口向上；avO时开口向下。2.ab的桀体符号确定抛物线对称轴的位置，当ab>0(即-20)时，对称轴在y轴的右方，特殊地，当b=0时，一2=0,y轴为抛物线的对称2a2a*轴。当a的符号与对称轴的位置确定时，可以确定b的符号，例如，对称
2、轴在y轴的右方时，ab<0,若a>0,则b<0；若av0,则b>0。3.c的符号确定抛物线与y轴的交点位置。0>()时，，交点在y轴的正半轴上；cvO时，交点在y轴的负半轴上。特殊地c=0时，抛物线过原点。又若b=0时，抛物线的顶点在原点。4.A=b2-4ac的符号确定抛物线与兀轴的交点个数。厶〉。时，有两个交点；△=()时，只有一个交点，抛物线的顶点在x轴上；AvO时，没有交点。例如，二次函数y=ax2+bx+c(aHO)的图象如图⑴所示，则a<0fb<0c>(),A>0o二、二次函数与二次方程之间的关系二次函数y=ax2+bx+c(a工0)中，当y=0时，转化为方程么『+加+c=
3、0,当抛物线与兀轴有交点时(△»()),可以解二次方程加+c=0,求得抛物线与x轴的交点坐标，并且由图象可以确定当x取何值时y〉0或yv0。例如，二次函数y=x2-2x-3屮，令+-2兀一3=0,得x=3或x=-l,抛物线与兀轴交于A(-1,0),B(3,0)两点(如图2)0当兀>3或xv-1时,Ay--1-1•・2i•12/3・3iy>0；当一1v兀v3时，yv0。图(2)4ac-b2可知抛物线的顶点坐标为匸4ac-b2>4a-丿三、二次函数的恒等变形y=ax2-hbx+c=a[x+—I2d丿这是…种非常重要的恒等变形，应该熟练掌握，这种变形至少有以下几个方血的作用:2可知抛物线的
4、对称轴为46/c—4ac—b~3.可知二次函数的最大值或最小值，当6/>0时，有最小值一；当6/<0时，有最大值一;4a4a4.可以确定兀为何值时，y随兀的增大而增大，或y随兀的增大而减小；5.便于取点作出二次函数的图彖（通常找出五点：顶点，与兀轴的两个交点，与），轴的交点及该点关丁对称轴的对称点）；6.侑利于按照要求平移抛物线。例如，二次函数y=F-2x-3,可通过配方变形为），=（兀一1），-4。由此可知抛物线的顶点坐标为（1，一4）；对称轴为兀=1；当尤=1时，函数有最小值一4；当xvWy随x的增大而减小，当兀>1时,y随兀的增大而增大；取五点：（一1,0）,（0,-3）,（1
5、,-4）,（2,-3）,（3,0）可以作出此二次函数的图象（如上图⑵）；将抛物线向左平移1个单位，再向上平移4个单位，就可以得到二次函数），=兀2的图彖。四、二次函数解析式的确定二次函数一般有三种形式：1.一般式：y=ax2++c；2.顶点式：y=a（x-m）24-/z,（m,«）为抛物线的顶点;3.交点式：y=°（兀一兀
6、）（兀一兀2），（州,兀2）为抛物线与x轴交点的横坐标。解题时，要根据所给的条件，灵活选择其屮的一种表达形式。例1如图⑶，二次函数y=ax'+bx+c的图象过点A（-l,0）和点B（1,-2）,且与y轴交于正半轴,给出下列四个结论：®abc<0②2a-b<0③d+
7、c=-l®a<-1其屮正确结论的序号是。解：由图象可知avO,b<0（vab>0）,c>0,.abc>0.又由图象可知，对称轴X二一~>一1,即—<1O2d2(7•/（7<0,:・b>2a,即2a-b<0o•••图象过点(-1,0)和(1,一2),。+/?+c=—2•/（7+c=-1,:.a=--cj•/c>0,/.（7<-1o・••正确结论的序号是②③④。⑴求此抛物线的解析式；⑵求抛物线与X轴的交点坐标；⑶求抛物线的顶点坐标和对称轴方程；⑷泄i出此抛物线的图象；⑸当x取何值时，yvO?⑹当x取何值时，y随x的增大而增大？39⑺将此抛物线沿x轴方向向右平移一个单位，再沿y轴方向向
8、下平移-个单位，求平移后的抛物线的解析式。-8+4（/n-l）+w=-3,解：(1)・・•抛物线过(一1,2)和(4,-3),_（加-1）+刃=亍4（/n-l）+n=5.解得〈⑵解_尹+尹+3=0,即―-6",得*-2或“3。•・・抛物线与x轴交于(-2,0)和(3,0)o⑷抛物线过（-2,0）、（-1,2）、（0,3）、图象如图⑷。(5)当x<-2^x>4时y<0o⑹当&时,y随询增大而增大。⑺平移后的解析式为y=~13)X2丿、（1,3）、（3,0）、
