二次函数基础知识盘点

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1、二次函数基础知识盘点二次函数是中考必考的内容，填空题、选择题常考查其基础知识，解答题一般与其他知识组合形成综合题，并常作为压轴题，以考查学生分析问题和解决问题的能力，因此盘点一下二次函数的基础知识很有必要。一、二次函数的系数与抛物线的特征1.的符号确定抛物线的开口，时开口向上；时开口向下。2.的整体符号确定抛物线对称轴的位置，当（即）时，对称轴在轴的左方；当（即）时，对称轴在轴的右方，特殊地，当时，，轴为抛物线的对称轴。当的符号与对称轴的位置确定时，可以确定的符号，例如，对称轴在轴的右方时，，若，则；若，则。3.的符号确定抛物线与轴的交点位置。时，交

2、点在轴的正半轴上；时，交点在轴的负半轴上。特殊地时，抛物线过原点。又若时，抛物线的顶点在原点。4.的符号确定抛物线与轴的交点个数。时，有两个交点；时，只有一个交点，抛物线的顶点在轴上；时，没有交点。例如，二次函数的图象如图⑴所示，则，（），，。二、二次函数与二次方程之间的关系二次函数中，当时，转化为方程，当抛物线与轴有交点时（），可以解二次方程，求得抛物线与轴的交点坐标，并且由图象可以确定当取何值时或。例如，二次函数中，令，得或，抛物线与轴交于，两点（如图2）。当或时，；当时，。三、二次函数的恒等变形8。这是一种非常重要的恒等变形，应该熟练掌握，这种

3、变形至少有以下几个方面的作用：1.可知抛物线的顶点坐标为；2.可知抛物线的对称轴为；3.可知二次函数的最大值或最小值，当时，有最小值；当时，有最大值；4.可以确定为何值时，随的增大而增大，或随的增大而减小；5.便于取点作出二次函数的图象（通常找出五点：顶点，与轴的两个交点，与轴的交点及该点关于对称轴的对称点）；6.有利于按照要求平移抛物线。例如，二次函数，可通过配方变形为。由此可知抛物线的顶点坐标为；对称轴为；当时，函数有最小值；当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大；取五点：，，，，可以作出此二次函数的图象（如上图⑵）；将抛物线向左平移1个单位

4、，再向上平移4个单位，就可以得到二次函数的图象。四、二次函数解析式的确定二次函数一般有三种形式：1.一般式：；2.顶点式：，为抛物线的顶点；3.交点式：，为抛物线与轴交点的横坐标。解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式。例1如图⑶，二次函数的图象过点和点，且与轴交于正半轴，给出下列四个结论：8①②③④其中正确结论的序号是__________。解：由图象可知，（），，。又由图象可知，对称轴，即。，，即。图象过点和，二式相加得，。，，，。正确结论的序号是②③④。例2已知抛物线经过、两点。⑴求此抛物线的解析式；⑵求抛物线与轴的交点坐标；⑶求抛

5、物线的顶点坐标和对称轴方程；⑷画出此抛物线的图象；⑸当取何值时，？⑹当取何值时，随的增大而增大？⑺将此抛物线沿轴方向向右平移个单位，再沿轴方向向下平移个单位，求平移后的抛物线的解析式。解：⑴抛物线过和，即解得。⑵解，即，得或。抛物线与轴交于和。8⑶。抛物线的顶点坐标是，对称轴是。⑷抛物线过、、、、、、诸点，图象如图⑷。⑸当和时，。⑹当时，随的增大而增大。⑺平移后的解析式为，即。二次函数的图象知识总结【知识梳理】一、图象平移示意图一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x-h）2+k的图象．y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y

6、=a（x-h）2y=a（x-h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移二、图象的平移方法1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a（x-h）2+k的形式．即图1y=ax2xyOy=a（x＋）2y=a（x＋）2+y=ax2＋bx＋c=a（x2＋x＋）=a[x2＋2×x＋（）2－（）2]8=a（x＋）2＋．2、图象的平移的方向和大小根据的正（负）将其图象向左（右）平移

7、

8、个单位；再根据的正（负）将其图象向上（下）平移

9、

10、个单位，即可得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图1所示．三、图象的性质1、二次函数y=ax2+bx+c的图象是以x

11、=－为对称轴，以（－，）为顶点的抛物线．x=－yxOx=－xyO图2图32、二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图2，当a>0时，其图象的开口向上，这时当x<－时y的值随x的增大而减小；当x>－时y的值随x的增大而增大；当x=－时，y有最小值．如图3，当a<0时，其图象的开口向下，这时当x<－时y的值随x的增大而增大；当x>－时y的值随x的增大而减小；当x=－时，y有最大值．3、二次函数y=ax2+bx+c的图象的二次项系数a——定形；顶点（－，）——定位．【链接中考】例1二次函数y=x2－2x－3的对称轴和顶点坐标分别是（）A．x=1，（1，－4

12、）B．x=1，（1，4）C．x=－1，（－1，4）D．x=－1，（－1，－4）解析：将y=x2－2x－3配方