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1、定义：一般地,如果（a,b,c是常数,aHO）,那么y叫做x的二次函数。①所谓二次函数就是说口变量最高次数是2;②二次函数（aHO）屮x、y是变罐，a,b,c是常数，自变罐x的取值范围是全体实数，b和c可以是任意实数，a是不等于0的实数，因为a二0时，变为y=bx+c若bHO,则y二bx+c是一次函数，若b=0,则尸c是一个常数函数。③二次函数（aHO）与一元二次方程（aHO）冇密切联系，如果将变量y换成一个常数，那么这个二次函数就是一"一元二次两数。二次函数的解析式有三种形式：（1）—般式：（a,b,c是常数，aHO）；（2）顶点式：（a,h,k是常数，aHO）（3）当抛物线与x轴有交
2、点时，即对应二次好方程有实根xl和x2存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式。如果没有交点，则不能这样表示。二次函数的一般形式的结构特征：①函数的关系式是整式；②自变量的最高次数是2；③二次项系数不等于零。二次函数的判定：二次函数的一般形式中等号右边是关于自变量x的二次三项式；当b=0,c=0吋，y=ax2是特殊的二次函数；判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成（aHO）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是。图像二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，
3、a表示开口方向：a>0时，抛物线开口向上；avO吋，抛物线开口向下;②冇对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点处标：（0,c）o二次两数图像性质：轴对称：二次函数图像是轴对称图形。対称轴为直线x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点P。特别地，当20时，二次函数图像的对称轴是y轴（即肓•线x=0）oa,b同号，对称轴在y轴左侧b=0,对称轴是y轴a,b异号，对称轴在y轴右侧顶点：二次函数图像冇一个顶点P,坐标为P（h,k）当h=0吋，P在y轴上：当k=0吋，P在x轴上。即町表示为顶点式y=a（x-h）A2+koh=-b/2a,k=（4ac-bA2）/4ao开
4、口：二次项系数a决定二次函数图像的开口方向和大小。当a>0时，二次函数图像向上开口；当avO时，抛物线向下开口。
5、a
6、越大，则二次函数图像的开口越小。决定对称轴位置的因素：一-次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。当a>O,-Ub同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；因为对称轴在左边则对称轴小于0,也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0,所以a、b要同号当a>0,与b异号时（即ab<0）,对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要人于0,也就是-b/2a>0,所以b/2a要小于0,所以a、b要异号可简单记忆为左同右异，即当a与b同号时（即ab>0）,对称轴在y轴左；当a与b异
7、号吋（即ab<0）,对称轴在y轴右。事实上，b冇其自身的几何意义：二次函数图像与y轴的交点处的该二次函数图像切线的函数解析式（一次函数）的斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。决定与y轴交点的因素：常数项c决定二次函数图像与y轴交点。二次函数图像与y轴交于（0,0注意：顶点坐标为（h,k）,与y轴交于（0,C）。与x轴交点个数：a<0;k>0或a>0;k<0时，二次函数图像与x轴侑2个交点。k=0时，二次函数图像Lx轴只有1个交点。a<0;k<0或a>0zk>0时，二次函数图像与X轴无交点。当a>0时，函数在x二h处取得最小值ymin=k,在xvh范围内是减两数，在x>h范围内是增函数（
8、即y随x的变大而变小），二次函数图像的开口向上，函数的值域是y>k当avO时，函数在x二h处取得最大值ymax=k,在xh范围内是减函数（即y随x的变人而变人），二次函数图像的开口向下，函数的值域是yvk当h=0时，抛物线的对称轴是y轴，这时，函数是偶函数。最值二次函数的最值：1•如具自变童的取值范围是全体实数，则当a>OE寸，抛物线开□向上，有最低点,刃吆函数在x=处取2a得最小值煨小值二农7一护；4a当a<0时，抛物线开口向下■有最高点，即当兀=__Le寸，网数取得最大值,y最天值二^ac-b2a4a也即是:妇县且变量的取值范围是兰体实数,那么函数在顶点处
9、取得最大值（或最小值）,即兰A-=_±2a时、_4处一現尹最值_;4a2•如具自变童的取值范围是X］兰X兰兀2，那么，首完要青一2是否在目变量取值范围心
