高考数学二轮复习双曲线学案（含解析）.docx

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1、双曲线问题考向一：双曲线的定义与焦点三角形1、在双曲线的定义中，要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．2、在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将

2、

3、PF1

4、－

5、PF2

6、

7、＝2a平方，建立与

8、PF1

9、、

10、PF2

11、间的联系．1.［2016•全国Ⅱ，11］已知F1、F2是双曲线E：－＝1的左、右焦点，点M在E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则E的离

12、心率为(　　)A．B．C．D．2答案　A解析：解法一：由MF1⊥x轴，可得M，∴

13、MF1

14、＝.由sin∠MF2F1＝，可得cos∠MF2F1＝＝，又tan∠MF2F1＝＝，∴＝，∴b2＝ac，∵c2＝a2＋b2∴c2－a2－ac＝0e2－e－1＝0，∴e＝.解法二：设MF1=m，则MF2=3m，F1F2=22m2a=MF2-MF1=2m，2c=F1F2=22m所以e=22、[2014•大纲卷，9］已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若

15、F1A

16、＝2

17、F2A

18、，则cos∠AF2F1＝(　　)A．B．C．

19、D．答案　A解析：由题意得解得

20、F2A

21、＝2a，

22、F1A

23、＝4a，又由已知可得＝2，所以c＝2a，即

24、F1F2

25、＝4a，所以cos∠AF2F1＝＝＝3、[2013•湖南卷，14］设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点．若

26、PF1

27、＋

28、PF2

29、＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．答案　解析：不妨设点P在双曲线C的右支上，由双曲线定义知

30、PF1

31、－

32、PF2

33、＝2a，①又因为

34、PF1

35、＋

36、PF2

37、＝6a，②由①②得

38、PF1

39、＝4a，

40、PF2

41、＝2a，因为c

42、>a，所以在△PF1F2中，∠PF1F2为最小内角，因此∠PF1F2＝30°，在△PF1F2中，由余弦定理可知，

43、PF2

44、2＝

45、PF1

46、2＋

47、F1F2

48、2－2

49、PF1

50、·

51、F1F2

52、·cos30°，即4a2＝16a2＋4c2－8ac.所以c2－2ac＋3a2＝0，两边同除以a2得，e2－2e＋3＝0.解得e＝.考向二：双曲线的标准方程1、［2016•全国Ⅰ，5］已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)A．(－1，3)B．(－1，)C．(0，3)D．(0，)答案　A解析　∵原方程表示

53、双曲线，且焦距为4，∴①或②由①得m2＝1，n∈(－1，3)．②无解2、[2014•北京卷，11］设双曲线C经过点(2，2)，且与－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．答案　－＝1；y＝±2x解析　根据题意，可设双曲线C：－x2＝λ，将(2，2)代入双曲线C的方程得λ＝－3，∴C的方程为－＝1.渐近线方程为y＝±2x.与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．考向三：与渐近线有关的双曲线问题1、【2019全国Ⅰ卷理16】已知双曲线C：的左、右焦点分

54、别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．【答案】2分析：解答本题时，通过向量关系得到和，从而可以得到，再结合双曲线的渐近线可得进而得到从而由可求离心率.解析：如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，，又OA与OB都是渐近线，得又，∴又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．解法2：如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得∴，取B(x,bax)，x2+b2a2x2=c2，x=a，所以B(a,b)因为F1A=b，所以OA=a，BF1=2b，B

55、F2=2aS∆BF1F2=122a×2b=122c×b，所以e=22、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】双曲线C：=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若，则△PFO的面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由，又P在C的一条渐近线上，不妨设为在上，则，3、［2018•全国Ⅰ，11］已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则

56、MN

57、＝(　　)A．B．3C．2D．4答案　B解析：由题意分析知，∠FON＝30°.所以∠MON＝

58、60°，又因为△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90°，则∠ONF＝30°，于是FN＝OF＝2，FM＝OF＝1，所以

59、MN

60、＝3.4、［2018•全国Ⅲ，11］设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若

61、PF1

62、＝

63、OP

64、，则C的离心率为